安振平老师的5902号不等式问题的证明

题目：已知$a,b,c,d>0$,$a^2+b^2+c^2+d^2=4$,求证:$(abc+bcd+cda+dab)(a+b+c+d)-10abcd\leq 6.$

证明:原不等式等价于
$(abc+bcd+cda+dab)(a+b+c+d)-10abcd\leq \frac{3}{8}(a^2+b^2+c^2+d^2)^2$                                                                                (1)

$\Leftrightarrow 3(a^2+b^2+c^2+d^2)^2-8(abc+bcd+cda+dab)(a+b+c+d)+80abcd\geq 0$

$\Leftrightarrow (a+b)^2(a-b)^2+(a+c)^2(a-c)^2+(a+d)^2(a-d)^2+(b+c)^2(b-c)^2+(b+d)(b-d)^2+(c+d)^2(c-d)^2$

$+4(a-b)^2(c-d)^2+4(a-c)^2(b-d)^2+4(a-d)^2(b-c)^2\geq 0.$                                                                                                   (2)

不等式(2)显然成立，故不等式(1)成立,于是原不等式获证.

注:由证明过程知原不等式对$a,b,c,d\in R$都成立.