安振平老师的5901号不等式问题的证明

题目：已知$a,b,c,d>0$,求证:$(abc+bcd+cda+dab)(a+b+c+d)-4abcd\leq \frac{1}{8}(ab+ac+ad+bc+bd+cd)(a+b+c+d)^2.$

证明:原不等式等价于

$2\, \left( a-b \right) ^{2} \left( c-d \right) ^{2}+2\, \left( a-c\right) ^{2} \left( b-d \right) ^{2}+2\, \left( a-d \right) ^{2}\left( b-c \right) ^{2}$

$+ \left( ab+cd \right) \left( a-b \right) ^{2}+ \left( ac+bd \right) \left( a-c \right) ^{2}+ \left( ad+bc\right) \left( a-d \right) ^{2}+ \left( ad+bc \right) \left( b-c\right) ^{2}+ \left( ac+bd \right) \left( b-d \right) ^{2}+ \left( ab+cd \right) \left( c-d \right) ^{2}\geq 0.$                              (1)

由$a,b,c,d>0$知不等式(1)显然成立,故原不等式获证.

注：从证明过程中发现条件可以放宽为$a,b,c,d$同号.