安振平老师的5899号不等式问题的修正与证明

题目:已知$a,b,c\geq 1$,求证:$1+\frac{2}{1+ab+bc+ca}\leq \frac{a^2}{a+bc}+\frac{b^2}{b+ca}+\frac{c^2}{c+ab}\leq \frac{3}{2}$

张云华老师指出该不等式右边有误.事实上,该不等式可以修正为

$1+\frac{2}{1+ab+bc+ca}\leq \frac{3}{2}\leq \frac{a^2}{a+bc}+\frac{b^2}{b+ca}+\frac{c^2}{c+ab}.$

证明:左边的不等式显然成立.下证右边的不等式.

由$a,b,c\geq 1$可得

$(a+b+c)^2\geq 3(a+b+c).$                                          (1)

又$(a+b+c)^2-3(ab+bc+ca)=\frac{1}{2}[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]\geq 0,$故

$(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ca).$                                    (2)

由不等式(1)(2)可得

$(a+b+c)^2\geq \frac{3}{2}(a+b+c+ab+bc+ca).$             (3)

由柯西不等式及不等式(3)可得

$\frac{a^2}{a+bc}+\frac{b^2}{b+ca}+\frac{c^2}{c+ab}\geq \frac{(a+b+c)^2}{a+b+c+ab+bc+ca}\geq\frac{3}{2}.$

右边的不等式成立。