安振平老师的5897号不等式问题的证明

题目：已知$a,b,c>0$，求证：$\frac{ab}{1+\lambda a^2b}+\frac{bc}{1+\lambda b^2c}+\frac{ca}{1+\lambda c^2a}\leq \frac{ab+bc+ca}{1+\lambda abc}.$

证明：由算术-几何平均不等式可得

$\frac{b}{c^2}+\frac{1}{b}\geq \frac{2}{c},$                                 (1)

$\frac{c}{a^2}+\frac{1}{c}\geq \frac{2}{a},$                                 (2)

$\frac{a}{b^2}+\frac{1}{a}\geq \frac{2}{b},$                                 (3)

由不等式(1)-(3),可得

$\frac{b}{c^2}+\frac{c}{a^2}+\frac{a}{b^2}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c},$

即

$a^2b^3+b^2c^3+c^2a^3\geq abc(ab+bc+ca).$                        (4)

同理

$a^3b^2+b^3c^2+c^3a^2\geq abc(ab+bc+ca).$                        (5)

原不等式等价于

$abc[a^2b^3+b^2c^3+c^2a^3-abc(ab+bc+ca)]\lambda+a^3b^2+b^3c^2+c^3a^2-abc(ab+bc+ca)\geq 0.$        (6)

由$\lambda>0$及不等式(4)-(5)可知不等式(6)成立。故原不等式成立！