简单微积分笔记

不怎么标准严谨。
绝大部分内容来自《烧掉数学书》。

求导

• $$M(x)=x^n \Rightarrow M'(x)=nx^{n-1}$$

• $$M(x)=af(x)\Rightarrow M'(x)=af'(x)$$

• 和差法则 $$M(x)=f(x)+g(x)\Rightarrow f'(x)+g'(x)$$
• 乘积法则 $$M(x)=f(x)g(x)\Rightarrow M(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$$
• 链式法则 $$\frac{\mathrm df}{\mathrm dx} = \frac{\mathrm df}{\mathrm ds}\frac{\mathrm ds}{\mathrm dx}$$ 也即 $$h(x)=f(g(x)) \Rightarrow f'(g(x))g'(x)$$

• $$(\sin x)' = \cos x$$

• $$(\cos x)'=-\sin x$$

• $$(\tan x)'=1+\tan^2 x$$

• 泰勒级数：

$$M(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{M^{(n)}(0)}{n!}x^n$$

• $$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...$$

• $$\cos x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+...$$

• 抽象函数四连（排除$f(x)=0$ ）： $$f(x+y)=f(x)+f(y)\Leftrightarrow f(x)=ax$$ $$f(x+y)=f(x)f(y)\Leftrightarrow f(x)=c^x$$ $$f(xy)=f(x)+f(y)\Leftrightarrow f(x)=\log_a(x)$$ $$f(xy)=f(x)+f(y)\Leftrightarrow f(x)=x^c$$

• $$(e^x)'=e^x$$

• $$e=\lim_{N\rightarrow\infty}\left (1+\frac{1}{N}\right )^N$$

$$e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}$$

其中下面的式子收敛更快一点。

• $$(\ln x)' = \frac{1}{x}$$

• $$(\log_ax)'=\frac{1}{x\ln a}$$

积分

• 微积分基本定理：

1. $$\int_{a}^{b}m(x)\mathrm dx=M(b)-M(a)$$

其中 $M$ 是导数为 $m$ 的任意函数。
2. $$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\int_{a}^{x}m(s)\mathrm ds=m(x)$$

• $$\int_{a}^{b}(f(x)+g(x))\mathrm dx=\int_{a}^{b}f(x)\mathrm dx+\int_{a}^{b}g(x)\mathrm dx$$

• $$\int_a^bkf(x)\mathrm dx=k\int_a^bf(x)\mathrm dx$$

• $$\int_a^bf'(x)g(x)\mathrm dx=[f(x)g(x)]_a^b-\int_a^bf(x)g'(x)\mathrm dx$$

其中 $[f(x)g(x)]_a^b=f(b)g(b)-f(a)g(a)$ 。

• 换元积分法

$$\int_{x=a}^{x=b}m(x)\mathrm dx=\int_{x=a}^{x=b}M(x)\frac{\mathrm dx}{\mathrm ds}\mathrm ds$$

• 对于函数 $m(x)$ ，它在 $x=a$ 到 $x=b$ 之间部分的长度是：

$$\int_a^b\sqrt{1+[m'(x)]^2}\mathrm dx$$

• $$\pi = 4\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n + 1}$$