排列数与组合数

首先是定义

组合数：从 $n$ 个不同元素中，任取 $m(m \le n)$ 个元素并成一组，叫做从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的一个组合；$C_{n}^{m}$ 表示从 $n$ 个不同元素中取出 $m(m \le n)$ 个元素的所有组合的个数，叫做从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的组合数。

例如，从 $\left\{1, 2, 3 \right\}$ 这3个不同元素中，取出2个元素的所有组合就是 $\left\{1, 2\right\}$, $\left\{1, 3\right\}$ 和 $\left\{2, 3 \right\}$ ， 因此组合数 $C_{3}^{2} = 3$ 。特别地，当 $m > n$ 时， $C_n^{m} = 0$ 。

排列数：表示从 $n$ 个不同元素中，任取 $m(m \le n)$ 个元素（被取出的元素各不相同），按照一定的顺序排成一列，叫做从$n$个不同元素中取出 $m$ 个元素的一个排列。 $P_{n}^{m}$ 表示从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的所有排列的个数，叫做从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的排列数。

例如，从 $\left\{1, 2, 3 \right\}$ 这3个不同元素中，取出2个元素的所有排列就是$\left\{1, 2\right\}$, $\left\{2, 1\right\}$，$\left\{1, 3\right\}$, $\left\{3, 1\right\}$ , $\left\{2, 3 \right\}$ , $\left\{3, 2\right\}$ 因此排列数 $P_{3}^{2} = 6$ 。

排列与元素的顺序有关，组合与顺序无关。

下面是一些计算排列数与组合数的常用公式：

1. $$P_{a}^{b} = a(a - 1)...(a - b + 1) = \frac{a!}{(a - b)!}$$

很容易理解，取第一个元素时有 $a$ 种取法，取第二个元素时有 $(a - 1)$ 种取法...一直到第 $b$ 个元素时有 $(a - b + 1)$ 种取法， 相乘即可得。

2. $$C_{a}^{b} = \frac{P_{a}^{b}}{b!} = \frac{a(a - 1)...(a - b +1)}{b!} = \frac{a!}{b!(a - b)!}$$

同样也很容易理解：先从求出从 $a$ 个元素中取 $b$ 个元素的排列数，然后对于取出的 $b$ 个元素，它们的 $P_{b}^{b}$ 种排列的元素都是同一个组合的，因此除去 $P_{b}^{b}$ , 即 $b!$。

3. $$C_{a}^{b} = C_{a - 1}^{b} + C_{a - 1}^{b - 1}$$

这个就有点动态规划的思想了，假设从 $a$ 个苹果中选 $b$ 个苹果，那么所有的组合就一定能够不重不漏地分成2类：不取第 $a$ 个苹果的组合和取第 $a$ 个苹果的组合。不取第 $a$ 个苹果的组合数等同于从剩下 $a - 1$个苹果中取出 $b$ 个苹果的组合数， 即 $C_{a - 1}^{b}$。取第 $a$ 个苹果的组合数就等同于先将第 $a$ 个苹果拿走，再从剩下的 $a - 1$ 个苹果中取出 $b - 1$ 个苹果的组合数， 即 $C_{a - 1}^{b - 1}$ 。于是从 $a$ 个苹果中选 $b$ 个苹果的组合数就是这两种组合数的和， 即 $C_{a}^{b} = C_{a - 1}^{b} + C_{a - 1}^{b - 1}$。

4. $$C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + C_{n}^{2} + ...+C_{n}^{n} = 2^n$$

这个就是要从实际含义来考虑，$C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + C_{n}^{2} + ...+C_{n}^{n}$ 实际上就相当于求从 $n$ 个元素中取任意多个元素 $(\le n)$ 的组合数，那么对于每个元素，都有取或不取 $2$ 种可能，所以一共 $n$ 个元素就有 $2^n$ 种可能，每种可能对应了一种组合，由此可得该恒等式。（恒等式证明常常都是从等式的实际含义考虑）。