十三连测8A

http://mna.wang/contest/426/problem/1

考虑 \(S\) 的合法条件等价于，选定一段编号区间 \([l,r]\)，使得 \([l,r]\) 内的点向外出度为 \(0\)。将 \((u,v)\) 看作二维平面上的一个点，即考察有多少个矩形满足 \(x\in[l,r]\)，\(y\in[1,l)\cup(r,n]\)，且 \((x,y)\) 都为 \(0\)。

考虑此时查询范围内存在两个矩形，且左侧矩形在 \(l\) 固定时合法性有关 \(r\) 具有单调性，右侧矩形在 \(r\) 固定时有关 \(l\) 具有单调性。不妨对于每个 \(i\) 求出其作为 \(l\) 时左侧矩形合法的最大 \(r\)，设其为 \(p_l\)，以及其作为 \(r\) 时右侧矩形合法的最小 \(l\)，设其为 \(q_r\)。最后枚举 \(r\)，查询区间 \([q_r,r]\) 内 \(\ge r\) 的 \(p_l\) 个数即可。

时间复杂度 \(O(n\log n)\)。

图论问题可以多往度数方向思考充要条件。