CF Edu160D Array Collapse

考虑最终剩下的序列下标组成的序列 $q$ 需要满足什么条件：

• $\forall i\in(1,siz_q]$，$\forall j\in(q_{i-1},q_i)$，$P_j>\min(P_{q_{i-1}},P_{q_i})$。

• $\forall j\in[1,q_1)$，$P_j>P_{q_1}$。

• $\forall j\in (q_{siz_q},n]$，$P_j>P_{q_{siz_q}}$。

可以操作任意多次。考虑 dp。

设 $dp_i$ 表示考虑前 $i$ 个位置之后，强制最终留下第 $i$ 个位置上的数的方案数，转移时枚举前面的位置 $j$，对于合法的决策 $j$，显然需满足 $\forall k\in(j,i)$，$a_k>a_i$ 或 $a_k>a_j$。

显然可以提前预处理出每个位置 $i$ 向前第一个比 $a_i$ 小的数的下标 $la_i$，则决策 $k\in[la_i,i)$ 一定合法；对于决策 $k\in[1,la_i)$，不难发现只有位于从 $1$ 到 $la_i-1$ 组成的单调递增的单调栈内的下标才合法。

于是可以在 dp 过程中顺便维护 $sum_i$ 表示 $\sum_{j=1}^i dp_j$，$f_i$ 表示前 $i$ 项组成的单调栈内的 $dp$ 值之和，即可做到 $O(n)$ 转移。

转操作至局面充要。