Atcoder Beginner Contest 277(A~Ex)

又是只过了五道半题的一天.jpg

手速场无疑。

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赛时

A 找数组中一个数的下标；B 简单字符串判断；C map+搜就行了。

D 考虑先离散化，然后暴力找权值最大的连通块即可。

E 考虑到每按一次按钮全图的边就会改变，且只有两种不同形式的图。所以可以拆点，将图分层，对于可以按按钮的点就将拆成的两个点连起来即可。不过注意到按按钮不耗费操作，所以按钮边权为 $0$，正常边权为 $1$，开个双端队列跑 0-1 bfs 就行。

到这里一共打了 35 min，然后开始罚坐。不过值得欣慰的一点是没有耗费额外的罚时。

看了 10 min F，想到了无论怎么变换，每一行的元素依然在同一行，每一列的元素也依然在同一列。又去看了 10min G，感觉是个 nb 的期望 dp，也不太会。

于是又回去看 F，又想到了可以对于行和列分别判断约束，对于行的约束其实就是，将每一行的最小值最大值看成一个区间后，要求区间不能相交，写了之后发现还是不会约束列.jpg，但实际简单的很（赛时脑抽系列

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赛后

F - Sorting a Matrix

F 好难调啊……

对于行的约束除了上面说的之外，可能需要特判 $min=max$ 的情况，不然或许会对线段重合的判断造成影响，这点调了俩小时；以及也特判一行全 $0$ 的情况。

那对于列的约束怎么处理呢？我们发现对于每一列实际上是给了我们若干形如【第 $i$ 列小于第 $j$ 列】的约束关系，那么我们不妨将行内元素排序，在忽视 $0$ 的情况下，从较小权值的列向较大权值的列连边，最后看图中有没有环即可判断约束是否矛盾。

不过注意还存在一车元素相等，另一车相邻的元素也相等的情况，此时如果直接由左侧元素向右侧元素两两连边复杂度显然不对，于是我们可以采用经典的优化建图 trick，将相等的元素统一连到一个新建的虚点上，再从这个虚点向后一个元素连边即可。

时间复杂度 $O(H\log H+H\times W)$.

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G - Random Walk to Millionaire

破防了破防了，彻底破防了，被自己弱智错误的多样性整的破大防。

周日 star 模拟赛打过相似思路的题目。考虑倒序 dp，设 $dp_{i,j}$ 为进行了第 $k-j+1$ 到第 $k$ 次行动，且当前在节点 $i$ 时的答案期望。思考两种操作分别对于当前答案的贡献。

对于操作 $1$，我们会让之前的若干个 $x^2$ 变成 $(x+1)^2$，直接转移期望不好转移，由于 $(x+1)^2=x^2+2x+1$，于是考虑维护 $f_{i,j}$ 表示当前一次项的期望，$g_{i,j}$ 表示当前零次项的期望，依次转移，有转移方程：

$$dp_{u,i}=\frac{1}{deg_u}\sum_{v}(dp_{v,i-1}+2\times f_{v,i-1}+g_{v,i-1})\\ f_{u,i}=\frac{1}{deg_u}\sum_{v}f_{v,i-1}+g_{v,i-1}\\ g_{u,i}=\frac{1}{deg_u}\sum_{v}g_{v,i-1}$$

对于操作 $2$，我们相当于增加了一下 $0$ 次项，所以将 $0$ 次项加 $1$ 之后算期望即可。

初始对于每个节点 $i$ 将 $g_{i,1}=1$，时间复杂度 $O(nk)$。感觉类似这种【带有一个影响后续贡献计算的属性】的 dp 大多都可以倒序做，会简单许多。

赛后脑残用前缀积预处理优化求 inv 的过程，忘记将前缀积差分了，并且一点异常都没有发现，于是调了四五个小时+重构代码一次，彻底破防orz

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Ex - Constrained Sums

第一想法是差分约束，但是并不好做，因为约束的是加和形式而非差的形式。

于是考虑 2-SAT 的变式 K-SAT。

考虑将每一个变量都拆成 $m+1$ 个点，分别表示 $[x_i\le j]$，并建立他们的否命题节点 $[x_i>j]$。然后对于每个条件考虑如何连边进行约束。（注意下面每一个约束的逆否命题同样也需要连边）

• $[x_i\le j]\rightarrow[x_i\le j+1]$

• $\forall(a_i,b_i,l_i)$，$\forall 0\le j\le m$，$[0\le l_i-j-1\le m]\and[x_{a_i}\le j]\rightarrow[x_{b_i}>l_i-j-1]$。

• $\forall(a_i,b_i,r_i)$，$\forall 0\le j\le \min(r_i,m)$，$[0\le r_i-j-1\le m]\and [x_{a_i}>j]\rightarrow[x_{b_i}\le r_i-j-1]$。

• $\forall(a_i,b_i,l_i)$，$[0\le l-m-1\le m]\and [x_{a_i}\le l-m-1]\to [x_{a_i}> l-m-1]$ 。

• $\forall(a_i,b_i,r_i)$，$[0\le r\le m]\and [x_{a_i}>r]\to [x_{a_i}\le r]$ 。

差不多就这些约束条件，依次连边即可。至于原因，看了连边方式之后应该也很容易想到。

除此之外由于值不可能大于 $m$，所以还需要对于每一个 $x$ 处理边界：

$$[x_i> m]\rightarrow[x_i\le m]$$

跑 tarjan 缩点即可，若一对约束条件在同一强连通分量中则无解，时间复杂度 $O(nm)$.

双倍经验 Too Many Constraints.

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启发

破防了没有心情再写什么启发了……真的是感受到了自己脑残错误的多样性。

只能说代码尽量想清楚一次写对吧，以及调试时多留意不引人注意的部分。

赛时的话还是要多转化模型做题。

FGH 题均调试 4h，还都是半会的题目，累了。