20221113 star模拟赛 随记

Explo

依次考虑是否取 $n$ 个物品，初始有权值 $p=w$，以及常数 $k,c$。

物品分为两类，对于第 $i$ 个物品：

若为第一类，则选择第 $i$ 个物品会得到 $a_i\times p$ 的贡献，并会使得 $p \leftarrow p\times (1-k\%)$ .

若为第二类，则选择第 $i$ 个物品会失去 $a_i\times p$ 的贡献，并会使得 $p\leftarrow p\times (1+c\%)$.

求最终最大贡献。$1\le n\le 10^5,0\le k,c,w,a_i\le 100$

一致认为这道是全场最佳。很有启发性。

第一想法是设 $dp_{i,j,k}$ 表示对于前 $i$ 个物品，当前 $p$ 正向变化了 $j$ 次，反向变化了 $k$ 次时的最大贡献，但是复杂度显然不对。

那怎么办，有点棘手，场上直接先跳过想后面题了。但仔细分析发现，只有前 $i-1$ 个物品的选取情况才会影响第 $i$ 个物品的贡献，这也是我们 dp 状态不好设置的原因——影响是复杂的而非单一的，我们还需要考虑 $p$ 的取值。

但我们可以思考一下 $p$ 在这个问题里面的本质作用是什么——是给后面物品的贡献加了个权。加了个权？也就是如果我们拿到了后面子问题的最优贡献，就可以直接加权计算当前贡献，并且加了个权之后还是最优的啦？

那就倒序做呗！设 $dp_i$ 表示对于后 $i$ 个物品这个子问题，最大贡献是多少，则有转移方程：

$$dp_{i}=\max(dp_{i+1},dp_{i+1}\times(1-k\%)+a_i\times w)(ty_i=1)\\ dp_{i}=\max(dp_{i+1},dp_{i+1}\times(1+c\%)+a_i\times w)(ty_i=2)$$

最终答案为 $dp_1$，时间复杂度 $O(n)$。

很有启发性，值得仔细品味。

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Seq

给定一个长度为 $n$ 的数列，以及 $m$ 次询问，每次询问给出三个数 $l,r,P$，需要找到一对 $l',r'$，满足 $l\le l'\le r'\le r$，使得 $(\sum_{i=l'}^{r'}a_i)\bmod P$ 最小，给出这个最小值。

$1\le n\le 5\times 10^5,1\le m\le 10^4,1\le P\le 500,1\le a_i\le 10^9$。

轻度诈骗题。

首先将求和转为在前缀和序列上差分，即使得 $(sum_{r'}-sum_{l'-1})\bmod P$ 最小。

考虑到 $P$ 的取值特别小，一个很好的结论是，$[l,r]$ 之间的不同的 $sum_i\bmod P$ 的取值最多只有 $P$ 种（废话），也就是只要 $[l,r]$ 的长度大于 $P$，我们一定能在区间 $[l,r]$ 中找到两个模 $P$ 意义下相同的 $sum_i$，那么我们只要选择这两个相减即可使得答案为 $0$。

于是当 $r-l+1>P$ 时，最小值一定为 $0$。

剩下的最长询问区间长度就只剩下 $500$ 了。暴力的做法当然是枚举两个不同的 $sum_i$，相减取最小值，这样其实已经很优了，时间复杂度 $O(P^2m)$。优化当然也很好优化，枚举每一个 $sum_i$，找它前面在 $[l-1,i-1]$ 之间的 $sum_i$ 集合中的前驱后继取最小值即可，set 就可以维护了。

时间复杂度 $O(Pm\log P)$。

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Earth

$n$ 个点 $m$ 条边的无向图，选择一个整数 $x$，使得每一条边的边权都加上 $x$ 后，从 $1$ 到 $n$ 的最短路径长度非负且最小，求这个最短路径长度。$T$ 组数据。

$1\le T\le 10,1\le n \le 100,m\le n\times (n-1)$.

很容易发现随着 $x$ 的变化，最短路径长度的变化是单调的。

于是考虑二分 $x$，在图上跑最短路，如果连通且 $dis_n$ 为正则挪右端点，否则挪动左端点。

记得在最短路的过程中需要判断负环，出现负环一定无解。

时间复杂度 $O(Tn^2\log |V|)$。

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最后还检查出来了 T3 的数组大小错误，感觉还不错。

期望得分 $100+100+100=300$。