Atcoder Beginner Contest 275(A~F)

我好菜啊……又没切掉 F，40+ min 切掉 A~E 成功滚粗。

希望能越打越好吧……

赛时

A 求序列最大值，B 简单计算，C 数正方形，跳过。

D 递推不太行，N 的范围有点大。但是除法的转移十分稀疏，所以可以考虑记忆化搜索，用一个 map 存储即可。

E 简单概率 dp，考虑从终止状态开始进行转移。不妨设 $dp_{i,j}$ 表示当前走到 $i$，且转了 $j$ 次转盘的获胜概率。

则有转移方程：

$$dp_{i,j}=(\sum_{k=1}^{k\le m\&i+k\le n} dp_{i+k,j-1}+\sum_{k=n-i+1}^{k\le m}dp_{n-k,j-1})\times\frac{1}{m}$$

由于到达终点之后无论转几次都是必然获胜，所以将这些初始状态都设为 $1$ 即可。

F 想到我们不可能将两段相邻的段算作删两次，所以我们选的段和删的段显然是两两交错的。且由于我们要算出 $x=[0,m]$ 的每一个答案，所以我们可以考虑按照段进行 dp。

那么假设我们知道了 $dp_{0}$ 到 $dp_{i-1}$ 选几段，我们应该是可以通过某一个值的序列状态再选一段删除得到 $dp_i$ 的，而为了保证无后效性，我们再加一维序列维，设 $dp_{i,j}$ 表示当前总和为 $i$，且删到第 $j$ 个位置时最少删几段，转移即可。

但是此时我们转移的时候即需要枚举当前这一段选多长（从 $i$ 向前删到的位置 $j$），还需要找到 $j$ 前面的合法决策，即使我们使用数据结构维护，时间复杂度也会达到 $O(n^2m\log n)$。

然后就陷入了局限性思维，出不来了，草草结束了这场比赛。

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赛后

F 其实我们可以发现，我们的状态设计已经很精简了，我们只能从转移下手优化时间复杂度。

有一个很经典的套路是，如果按段转移不好转移，我们就可以考虑从前一个位置怎么转移。如果可以直接从前一个位置转移，我们一般就可以将转移的时间复杂度优化到 $O(1)$ 了。

我们将序列中的每一个位置选择或者不选择用一个 $0/1$ 序列来表示。那么真正算入答案贡献的 $0$ 只有位于第一个位置的 $0$ 以及前面位置是 $1$ 的 $0$。那么如果从上一个位置进行转移，我们其实只会关注上一个位置选了还是没选，如果上一个位置选择，当前位置不选，段数就会多 $1$；其他情况段数都不会增加。

总结来说，我们设 $dp_{i,j,0/1}$ 表示对于序列的前 $i$ 个位置，当选择的总和为 $j$，且第 $i$ 个位置选或者不选时的最小删除段数，则有：

$$dp_{i,j,0}=\min(dp_{i-1,j,0},dp_{i-1,j,1}+1)\\ dp_{i,j,1}=\min(dp_{i-1,j-a_{i},1},dp_{i-1,j-a_i,0})$$

初始状态为 $dp_{0,0,1}=0$。时间复杂度 $O(nm)$。

（ps：破案了，前缀和优化 = 从上一个转移，人有点傻，勿怪）

G 没太看懂，不想补了。