关于树上求 K-son 和 K-father 的各种方法

本篇灵感由翻阅 P5384 [Cnoi2019]雪松果树题解区时得出，发现将这两种问题结合起来解决 K-cousin 问题竟然可以产生 \(3\times 6=18\) 种做法！特此记录。

注意，本篇记录的都是较为常见且优秀的正解算法，暴力算法并不被计算在内。

1. K-father

求 K 级祖先的问题十分常见，一般都会使用倍增进行处理，但其实还有复杂度较为优秀的长链剖分。若是不强调在线，甚至还有复杂度更加优秀的栈求 K 级祖先做法。

1.1 倍增

最常见的一种方法。考虑先 dfs 一遍整棵树，预处理出树上每个节点的二次幂级祖先，每次求该节点的祖先时由高次幂到低次幂依次向上跳，即可得到节点的 K-father。

时间复杂度 \(O(n\text{ log }n)-O(\text{log }n)\)，空间复杂度 \(O(n\text{ log }n)\)。在线算法。

1.2 长链剖分

详细算法流程见长链剖分学习笔记。

时间复杂度 \(O(n\text{ log }n)-O(1)\)，空间复杂度 \(O(n\text{ log }n)\)。在线算法。

1.3 栈求 K 级祖先

很好懂，但不太好想的一种做法。

考虑通过一个栈来维护当前节点的所有祖先，从根节点一次向下遍历的时候顺带维护这个栈即可。先将所有询问读入后挂到节点上，然后遍历到该节点时，由于已经知道了该节点的所有祖先，故可以直接得出答案。

时间复杂度 \(O(n)-O(1)\)，空间复杂度 \(O(n)\)。离线算法。

2. K-son

2.1 线段树合并

板子题啦！考虑利用权值线段树维护深度，表示以当前节点为根的子树内每一个深度的节点个数，然后套用线段树合并的板子，从下到上依次合并即可。

但是注意线段树合并有两种写法（这么说来求 K-son 是不是有 \(7\) 种方法/se），最常用的一种是合并完后立马回收子树节点，离线处理，这种的时间复杂度为 \(O(n\text{ log }n)-O(\text{log }n)\)，空间复杂度为 \(O(n)\)。

还有一种不太常见的写法，就是每次合并的时候新开节点，不删子树节点，好处是可以将离线变成在线，坏处是空间复杂度将暴涨到 \(O(n\text{ log }n)\)，且 \(\text{log}\) 的常数巨大，一般会被卡掉。

2.2 树上差分

~~是不是树上差分不知道，反正是差分~~

线段树合并太浪费了！每次明明只需要 \(O(1)\) 查询，它非要建成一棵树，ban 掉！

考虑首先还是将所有的询问挂到树上，然后遍历整棵树，用一个数组维护当前每个深度的节点个数，遍历到一个节点时记录每个询问当前的答案，然后将该节点的深度加进贡献，遍历出来的时候再找一遍答案，两者的差值即为以当前节点为根的子树内的答案。

非常妙的方法。

时间复杂度 \(O(n)-O(1)\)，空间复杂度 \(O(n)\)，离线算法。

2.3 Dsu on tree（树上启发式合并）

基本也算是板子题。

依旧是先将询问挂树上，然后使用合并套路，先剖出每个节点的轻重边，对于每个节点，先算出轻儿子子树内所有询问的答案，然后算重儿子子树内所有询问的答案，并继承重儿子的记录每个深度有多少个节点的数组，再暴力算出所有轻儿子子树对当前节点答案的贡献即可。

由于每个节点最多只会被记录 \(O(\text{log }n)\) 次，所以时间复杂度 \(O(n\text{ log }n)-O(1)\)；由于全程只用到了一个记录深度的数组，所以空间复杂度 \(O(n)\)。离线算法。

2.4 DFS 序 + 树状数组

遇见子树统计问题，转 dfs 序！

考虑将原树转为一个 dfs序，那么对于每个节点 \(i\)，它的子树区间就是 \([dfn_ i,dfn_i+size_i)\)，将序列用每个节点的深度填充，则每个询问其实就是在查询某段区间内某个值的个数，变成了一道经典的二维数点问题。于是就可以使用套路，将所有询问挂树上之后按照 dfs 序依次处理每个节点的答案，就可以解决本问题了。

时间复杂度 \(O(n\text{ log }n)-O(\text{log }n)\)，空间复杂度 \(O(n)\)。离线算法。

或许可以通过树套树转为在线算法？最多只是有亿点麻烦而已。

2.5 vector + 二分

考虑将每个深度建立一个 vector，然后将所有节点按照 dfs 序插入到对应的 vector 中。和上一种方法的原理差不多，由于转为 dfs 序后一个子树内的节点是连续的一段，所以就可以对于每个询问二分查找在询问深度的 vector 中，有多少个在当前的子树内，即可解决本题。

时间复杂度 \(O(n)-O(\text{log }n)\)，空间复杂度 \(O(n)\)。在线算法。

2.6 长链剖分 + dp