AcWing 算法提高课 二分图

1、性质：二分图，等价于不存在奇数环、用染色法染色没有矛盾。

 染色法求二分图模板：

int n,m;
const int N=20010;
vector<int> adj[N];
vector<int> cost[N];
int color[N];//0表示未染色，1白色，2黑色

bool DFS(int u,int c)
{
    color[u]=c;
    for(int i=0;i<adj[u].size();i++)
    {
        int nxt=adj[u][i];
        int w=cost[u][i];
        
        if(color[nxt])
        {
            if(color[nxt]==c) return false;
        }
        else
        {
            if(!DFS(nxt,3-c)) return false;
        }
    }
    return true;
}
bool Check()
{
    memset(color,0,sizeof(color));
    fore(i,1,n)
    {
        if(color[i]==0)
        {
            if(!DFS(i,1))
                return false;
        }
    }
    return true;
}
void YD()
{
    cin>>n>>m;
    while(m--)
    {
        int a,b,c;cin>>a>>b>>c;
        adj[a].pub(b);
        cost[a].pub(c);
        adj[b].pub(a);
        cost[b].pub(c);
    }

    Check();

}

 2、匈牙利算法求二分图中的最大匹配

 

匹配：取出来的边，没有公共点，类似找对象，一夫一妻

增广路径：非匹配点开始，走非匹配边和匹配边交替的路径，最后到非匹配点。

 

可以发现增广路径可以构造出更大的匹配。

最大匹配等价于无增广路径。

匈牙利算法可以在二分图中求出最大匹配

匈牙利算法的本质就是图的深度优先遍历，

思想为，找对象：假设二分图一边全是女生，另一边全是男生，给全部的男生找对象，如果可以找到一个女生没有对象则直接找到，

否则就看能不能将女生的对象分给别的女生，如果能，就将其对象更改，并把女生与当前男生进行匹配。

例题：https://www.acwing.com/problem/content/374/

其中 find函数是匈牙利算法的核心

模板：

const int N = 110;
int n, m, k;
vector<int> adj[N];
bool st[N];
int match[N];
bool Find(int x)
{
    for (auto nxt : adj[x])
    {
        if (!st[nxt])
        {
            st[nxt] = true;
            int t = match[nxt];
            if (t == 0 || Find(t))
            {
                match[nxt] = x;
                return true;
            }
        }
    }
    return false;
}
void YD()
{
    cin >>n>> m >> k;

    memset(match, 0, sizeof(match));
    fore(i,1,n) adj[i].clear();
    while (k--)
    {
        int a, b; cin >> a >> b;
        adj[a].push_back(b);
    }
    int res = 0;
    fore(i, 1, n)
    {
        memset(st, 0, sizeof(st));
        if (Find(i)) res++;
    }
    cout << res << endl;
}

注意，集合A中有n个点，集合B中有m个点，adj是A中点向B中点连接的边，match和st是B中点的匹配或state

3、以下性质（二分图）

(1)点覆盖：任意一边至少有一个点被选中。

在二分图中，最小点覆盖等于最大匹配数。

最小点覆盖例题：https://www.acwing.com/problem/content/378/

 

(2)最大独立集：选出最多的点使得选出的点之间没有边。

最大团：选出最多的点使得选出的点中任意两点之间都有边。

原图的最大独立集就是补图的最大团

在二分图中(!)，求最大独立集，等价于去掉最少的点将所有边都破坏掉，即找到最小点覆盖并去掉，即找到最大匹配数并去掉。 

最大独立集例题：https://www.acwing.com/problem/content/380/

 

(3)最小路径点覆盖：对于DAG(有向无环图)，用最少的互不相交(点不重复)的路径覆盖全部点。

解决方法：

(1)拆点，将点分为入点和出点，边变为由出点指向入点，此时原图可转化为二分图

 

 

此时答案为n-m，其中m为二分图的最大匹配数。

思路：

(1)原图中的每条路径，都对应着二分图中的一个匹配（因为路径不会分叉，二分图中每个点度最多为1）

(2)路径的终点没有出边，对应着左侧的非匹配点，又因为所有点都会被覆盖，所以左侧的非匹配点都对应着一条路径的终点

(3)求原图中的最小路径覆盖，等价于求二分图中，左侧的最少非匹配点数量，即点数n-最大匹配数m

 

 

(4)最小路径重复点覆盖：对于DAG，用最少的(点和边可重的)路径覆盖全部点。

方法：

(1)先求原图的传递闭包

(2)原图的最小路径重复点覆盖等价于传递闭包的最小路径点覆盖

(3)可以证明二者中的路径一一对应

(4)转化为求二分图中最大匹配数问题

例题：https://www.acwing.com/problem/content/381/