AcWing 算法基础课 动态规划

1、背包问题

　　(1)01背包

　　每件物品仅用一次　

　　可以做空间优化

　　dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);　　　

　　0,1背包状态均是从前一循环的状态转移

　　注意如果不使用空间优化时，要对小于当前重量的dp位置进行赋值（为上一轮dp的值）！！

　　

　　(2)完全背包

　　每件物品可以用无限次

　　dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);

　　

　　完全背包的状态可以从当前循环的状态转移，进行优化

　　

 

 

 

 

 

　　(3)多重背包

　　每件物品有不同的数量限制

　　可以对物品的数量限制进行拆分(1~2^k+c)，从而转化为01背包问题

　　

　　也可以用单调队列进行优化（B站，背包9讲）

　　(4)分组背包

　　组内仅选一件物品  

　　与01背包和完全背包相似，

　　dp时枚举第i组而不是第i个物品，

　　每组中再对组内物品进行枚举。

2、线性DP

　　(1)最长上升子序列

　　

 　　优化：

　　AcWing 896. 最长上升子序列 II

　　记录不同长度的上升子序列的最小的结尾，利用贪心思想，二分查找当前数应该加入哪个子序列后面，更新被加入的结尾和最长子序列长度。

　　(2)最长公共子序列

　　

 

　　

　　dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
　　if(A[i-1]==B[j-1])
　　　　dp[i][j]=max(dp[i-1][j-1]+1,dp[i][j]);

3、区间DP

　　AcWing 282. 石子合并

　　

 

　　可以用前缀和记录区间和简化计算，状态以合并的分隔位置进行区分，注意枚举顺序。 

4、计数类DP

　　整数划分：可以看做完全背包问题

5、数位统计DP

　　计算某个数字在[a,b]范围内出现的次数，可以计算[1,b]-[1,a-1]，利用类似前缀和的思想求出。

　　又count(n)可以用每一位出现的次数求和

　　

 

 6、状态压缩DP

　　利用二进制表示状态，例如点或者位置是否已经被选择

7、树型DP

　　AcWing 285. 没有上司的舞会

　　

 

 　　

 

 

8、记忆化搜索

　　DP的递归形式叫记忆化搜索

　　dp[i][j]记录状态，DP(i,j)返回状态，如果已经计算则直接返回，否则递归计算