AcWing 算法基础课 高斯消元、组合数

一、高斯消元

对矩阵n*n*x=列向量n

枚举每一列(c+,r)

　　1、找到当前列绝对值最大的行(如果为0则下一列)

　　2、将当前行与1、中的行的元素交换

　　3、将当前行的当前列元素化为1

　　4、利用当前行的元素，将后面行的当前列的元素化为0（先枚举后面的行，后面的行的当前列元素不为0，则每个列都消）

　　5、r++

r<n

　　若出现0=非0的行，无解

　　否则，无穷多解

消去上三角的其他部分（从后往前遍历行，每次遍历用后面的行减）

r==n

　　唯一解

 

二、组合数

　　1、利用递推式，预处理出所有可能的组合数，适用于数值比较小但查询次数多。(a<2000)，O(n^2)

　　　　C(a,b)=C(a-1,b)+C(a-1,b-1)（从实际意义出发可得公式）

　　　　边界情况（j==0）时，C(i,j)为1

　　　　共计预处理出a*a个数

　　2、C(a,b)=a!/(b!(a-b)!)，可以预处理出全部a!的值，适用于数值适中且查询次数多。(a<10^5)，O(nlogn)，logn在求逆元时出现

　　　　共计预处理出a个数

　　　　注意，除法计算后取模，不等于同时将上下取模，需要利用求逆元的方式，转换成乘法。

　　3、卢卡斯定理，适用于询问少但是数据范围很大题目，O(p*logn*logp)，p为结果取余的除数，需要a或b>p

　　　　C(a,b)=C(a%p,b%p)*C(a/p,b/p) （mod p）

　　4、一次询问，不取模，结果会很大，需要用高精度算法

　　　　对C(a,b)=a!/(b!(a-b)!)进行分解质因数。

　　　　a!中质因子p的个数为[a/p]+[a/p^2]+[a/p^3]+...

　　　　得到a!/(b!(a-b)!)的质因子后，利用高精度乘法求解

组合数公式：

Σ(i=0~k)C(n+i,n)=C(n+k+1,n+1);（上不变，下递增）。