AcWing算法基础课 欧拉函数、快速幂

1、欧拉函数的定义是，φ(n)是1-n中与n互质的数的个数

对n分解质因数得p1^a1*p2^a2*...*pn^an，

则φ(n)=n*(1-1/p1)(1-1/p2)*...*(1-1/pn);

对多个数求欧拉函数，可以结合线性筛法，对每个质数和被筛到的数，都根据已经被循环到的数的φ计算

const int N = 100010;
int primes[N], cnt;
int phi[N];//全部欧拉函数
bool not_prime[N];//是否为质数
typedef long long LL;

LL get_eulers(int n)//求1-n全部欧拉函数的和
{
    phi[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++)
    {
        if (!not_prime[i])
        {
            primes[cnt++] = i;
            phi[i] = i - 1;//质数的欧拉函数
        }
        for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j++)
        {
            not_prime[primes[j] * i] = true;
            if (i%primes[j] == 0)
            {
                phi[primes[j] * i] = phi[i] * primes[j]; //primes[j] * i的最小质因子为primes[j]，且primes[j]是i的质因子
                break;
            }
            phi[primes[j] * i] = phi[i] * (primes[j] - 1);
            //primes[j] * i的最小质因子为primes[j]，且primes[j]不是i的质因子(primes[j]-1)=primes[j]*(1-1/primes[j])
        }

    }
    LL res = 0;
    res = accumulate(phi + 1, phi + n + 1, 0LL);
    return res;
}

欧拉定理

若a与n互质，则有 (a^φ(n))%n=1;

2、快速幂

对a^k，可以预处理出，a^(2^0),a^(2^1)...,a^(2^n)，其中a^(2^(n+1))>k，a^(2^(n))≤k。其中a^(2^(i+1))=(a^(2^i))^2，O(logn)

则k=x0*(2^0)+x1*(2^1)+...+xn*(2^n)，其中xi为k的二进制表示的第i位，取0或1

则a^k=a^(x0*(2^0))*a^(x1*(2^1))*...*a^(xn*(2^n))，O(logn)。

算法结果取模则每步预处理也取模。

int qmi(int a, int k, int p)//(a^k)%p
{
    int res=1;
    while (k)
    {
        if (k & 1) res = (LL)(res*a) % p;//a初始为a^(2^0)=a
        k >> 1;
        a = (LL)a*a%p;
    }
    return res;
}

同样还有递归的快速幂算法。