AcWing 算法基础课 最小生成树、二分图

一、最小生成树

1、prim算法

和dijkstra算法很像

　　(1)朴素版 O(n^2)

　　适合稠密图

　　dijkstra算法每次更新到起点的距离，prim算法每次更新到集合的最短距离（用邻接点到当前被加入点的距离更新）（集合为已经生成的树）

　　858 Prim算法求最小生成树

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;

const int N=510;

int A_M[N][N];

int n,m;
int dis[N];
bool st[N];
int prim()
{
    int res=0;
    memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
    dis[1]=0;//dis初始化
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        int t=-1;
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            if(!st[j]&&(t==-1||dis[j]<dis[t]))
            t=j;
        }
        if(dist[t]==0x3f3f3f3f) return 0x3f3f3f3f;
        res+=dist[t];
        for(int j=1;i<=n;j++)
            dis[j]=min(dis[j],A_M[t][j]);
        st[t]=true;
    }
    return res;
}
int main()
{
    memset(A_M,0x3f,sizeof(A_M));
    cin>>n>>m;
    while (m -- )
    {
        int x,y,z;
        cin>>x>>y>>z;
        A_M[x][y]=min(A_M[x][y],z);
    }
    for(int i=0;i<N;i++)
        A_M[i][i]=0;
    int t=prim();
    if(t==0x3f3f3f3f) cout<<"impossible";
    else cout<<t;
    return 0;

}           

 

　　(2)堆优化版 O(mlogn)

　　适合稀疏图（稀疏图一般用Kruskal）

　　和堆优化dijkstra算法相似，一般不使用。

2、克鲁斯卡尔(Kruskal)算法 O(mlogm)

适合稀疏图 只需要存边，不需要建图

　　(1)将所有边按权重从小到大排序

　　(2)枚举每条边 a→b=c

　　　　如果当前a b不连通，则将这条边加入集合中（将a b所在集合连通）（并查集的应用）

　　859 Kruskal算法求最小生成树

p[N];
int find(int x)
{
    if(p[x]!=x) p[x]=find(p[x]);
    return p[x];
    
pair<int,pair<int,int>> edges;//w,a,b
cin>>edges;
int res=0,cnt=0;
sort(edges.begin(),edges.end());
for(int i=1;i<=n;i++)
    p[i]=i;
for(int i=0;i<m;i++)
{
    auto [w,a_b]=edges[i];
    int a=find(a),b=find(b);
    if(a!=b)
    {
        p[a]=b;
        res+=w;
        cnt++;
    }
}
if(cnt<n-1)
    puts("impossible");
else
    cout<<res<<endl;

 

二、二分图

1、染色法 O(n+m)

　　判断一个图是否为二分图。

　　重要性质，二分图当且仅当图中不含奇数环

　　深度优先遍历，返回是否染色成功。

　　bool dfs(int index,int color)

2、匈牙利算法 O(mn)，实际运行时间一般远小于O(mn)

　　可以求二分图的最大匹配数