随笔分类 - 算法-数论
摘要：经典结论：长度为n的排列的逆序对数量的期望为C(n,2)/2。 简单证明：任意两个数在一个排列中，为逆序的概率是(1/2)，选择两个数的方案为C(n,2)。 故长度为n的排列的逆序对数量的总和为n!*C(n,2)/2，其中，n!是排列的数量 例题：https://ac.nowcoder.com/ac
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摘要：对一个数进行质因子分解的朴素做法是O(sqrt(n))的试除法 如果可以预处理出mindiv[i]数组，即每个数的最小质因子，则进行因式分解时，可以对数n，不断执行n/=mindiv[n]，即可分解。 例题：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/45670/E (此
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摘要：基于分治的思想： 例题：https://www.acwing.com/problem/content/99/ 模板： 求num^0+num^1+...+num^k const int MOD=9901; int QuickExp(int base,int exp) { base%=MOD; int
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摘要：1、SG函数 SG函数的定义：可以到达的全部点的SG函数中没有出现的最小自然数 可以解决棋子移动的博弈论问题 推导方式基于nim游戏，https://www.acwing.com/solution/content/15279/ https://www.acwing.com/problem/conte
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摘要：对于求数学期望的问题： 由于数学期望的线性性质，一般用记忆化的形式，从后往前dp 例题：https://www.acwing.com/problem/content/description/220/
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摘要：容斥原理的复杂度是2^n，一般n不会很大 形如： 由于容斥原理一共有2^n中选法，可以用二进制枚举，1表示选择某个条件。 然后将偶数个1的状态加起来，奇数个1的状态减去 例题： https://www.acwing.com/problem/content/216/ 莫比乌斯函数： 定义： 用于结合容
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摘要：高斯消元求解n元线性方程组 原理 先变上三角，再变对角矩阵，则此时 右边的值就是方程的解 步骤： 模板：（n*n且保证有唯一解，即n个线性方程n个未知数且有唯一解） const int N=15; double A[N][N]; int n; void Gauss() { //A矩阵存储了系数和右端
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摘要：卡特兰数的基本模型是，(0,0)->(n,n)且不越过x=y这条线 等价于另一个模型：01序列且全部前缀中0的个数都大于1，其中0对应于x方向移动，1对应y方向移动 例题：https://www.acwing.com/problem/content/1318/ 此题可以将一个1-n的前缀的选择（选择
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摘要：模板： int primes[N],cnt; bool not_prime[N]; void Init() { for(int i=2;i<N;i++) { if(!not_prime[i]) { primes[cnt++]=i; for(int j=i+i;j<N;j+=i) { not_prim
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摘要：lucus求解组合数的时间复杂度为 O(MODlogn(MOD)) 适用于MOD较小但n较大的情况 模板： LL MOD=1e6+3; LL QuickExp(LL base,LL exp) { LL res=1; while(exp) { if(exp&1) { res*=base; res%=M
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摘要：n个箱子k个小球 1、不可空： k个小球共有k-1个空隙，k-1个空隙中选n-1个位置放入隔板，形成n个箱子 答案为C(k-1,n-1) 2、可空 k个小球和n-1个隔板，选取k个位置放小球，并形成n个箱子 答案为C(n+k-1,k)
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摘要：对正整数a和b， a%b的值： b>a: 则a%b=a a>=b>=a/2: 则a%b=a-b<=a/2 b<=a/2: 则a%b<b<=a/2 可以发现 在b<=a时，一次取模运算至少会将a/2，a的变化情况为log次。
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摘要：可以用快速幂的形式求大量的相同矩阵乘法。 1、快速幂求斐波那契数列的第n项（n很大） 先将斐波那契数列的递推转化成矩阵形式 然后用快速幂求解A^n 例题：求斐波那契数列的前n项和（n很大） 可以将上例的行向量变为Fn=(fn,fn+1,Sn)，矩阵A变为{{0,1,0}, {1,1,1}, {0,0
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摘要：注意这里是构造了一个解，ti由于Mi与mi互质，可以用ExGCD求解 例题：https://www.acwing.com/problem/content/1300/ 模板： #include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long
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摘要：在求a*b%MOD的时候，如果MOD>1e10，则即便使用a%MOD*b%MOD，依旧有可能会爆long long 故可以利用和快速幂相似的思想，将乘法按位转化为加法，避免报long long 龟速乘模板： LL SlowMul(LL a,LL k,LL MOD) { LL res=0; while
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摘要：拓展欧几里得算法： 1、模板：https://www.cnblogs.com/ydUESTC/p/16676229.html 2、原理： 3、应用：拓展欧几里得算法解线性同余方程： 4、例题： （1）线性同余方程： https://www.acwing.com/problem/content/205
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摘要：对获取所有约数有一个优化。 首先朴素的作法是，枚举sqrt(n)。 但是实际上，2e9范围以内的数字最多有1600个约数，但是sqrt(n)会到达50000左右。 对于多组测试数据， 可以考虑先筛sqrt(n)以内的质数，然后对num进行质因子分解O(sqrt(n)/ln(sqrt(n)))<O(s
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摘要：例题： 1、求区间中的质数 筛质数是O(n)或O(nloglogn) 但是如果n很大，则会超时。 但是如果要筛[l, r]区间中的全部质数 且l和r比较大，但是r-l比较小时。 可以用O(nloglogn)的时间筛出，其中n=sqrt(N)。可以降低时间复杂度。 有对一个数n，如果是合数，则一定有小
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摘要：问题：求和：1^k+2^k+...+n^k 例题： https://codeforces.com/contest/622/problem/F 代码： #include<bits/stdc++.h> #define fore(x,y,z) for(LL x=(y);x<=(z);x++) #defin
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摘要：exgcd用于计算，形如ax+by=c的解。 证明：参考：https://www.cnblogs.com/mrclr/p/9380300.html 1、利用exgcd求解ax0+by0=gcd(a,b)的一个解： LL ExGCD(LL a, LL b, LL &x, LL &y) { if (b
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