TC8744 - KnightsOut 题解

（今天 vj 挂掉了，但是意外找到国内镜像站，以后再也不用担心 vj 挂掉啦！）

把每个格子选或不选当变量，对每个格子列异或方程组，得到一个 \(nm\times nm\) 的异或方程。高消硬解复杂度是 \(\mathrm O\!\left((nm)^3\right)\)，就算秩只有 \(1\)（显然不可能），再 bitset 优化，复杂度 \(\mathrm O\!\left(\dfrac{(nm)^2}w\right)\)​ 那还是够呛。

那只能考虑逻辑优化，方法是减少变量和方程的数量。看哪些变量可以被其他变量表示，手动（而不是让高斯消元来）代入消元，既可减少变量也可减少方程。注意到一个点处列的方程涉及到的格子只会在 \(\pm2\) 行出现。那就考虑试图将 \(+2\) 行的变量用前 \(4\) 行的变量表示。从最上面开始的话其实只有 \(2\) 行，因为再往上就没有了。

对 \((1,1)\) 的方程，只有一个点是在 \(+2\) 行的。从 \((1,2)\) 开始，会有两个点在 \(+2\) 行，这就不好了。考虑令 \((3,1)\) 与上面两行有同等地位，这样就可以一路递推，将 \((3,2\sim m)\) 都用基本地位的格子表示出来。然后便可以接着往下递推了。这样一来，新变量只有前两行和第一列的并，是 \(\mathrm O(n)\) 级别的（假设 \(n=\mathrm O(m)\)），而其它旧变量都可以表示成新变量的线性组合（可能再平移上 \(1\)，无妨）。这样表示只是满足条件的一个必要条件，因为最后两行和最后一列对应的方程还没得到检验。那就把这些方程列出来然后解哇，这样方程数和变量数都是 \(\mathrm O(n)\) 了，妥妥的。最后答案就是 \(2\) 的自由变量次方。

递推求线性表出式的时候，注意到这并不是严格意义上的线性组合，可能平移 \(1\)，那就给常数项也分配一个位置，照样操作。\(n=1\) 的时候会出问题，但注意到 \(n,m\) 是对称的，如果不是 \(n=m=1\) 那就可以 swap，否则直接输出 1。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define mp make_pair
#define X first
#define Y second
#define pb push_back
const int mod=123456789,inf=0x3f3f3f3f;
const int N=160;
int n,m;
vector<bitset<3*N> > a;
bitset<3*N> xsm[N][N];
const int dx[]={-1,-1,-2,-2,1,1,2,2},dy[]={2,-2,1,-1,2,-2,1,-1};
bool ok(int x,int y){return 1<=x&&x<=n&&1<=y&&y<=m;}
void gauss(){
	for(int i=0;;i++){
		pair<int,int> p(inf,inf);
		for(int j=i;j<a.size();j++)if(a[j].any()){
			int x=a[j]._Find_first();
			p=min(p,mp(x,j));
		}
		int col=p.X,row=p.Y;
		if(row==inf)break;
		swap(a[i],a[row]);
		for(int j=0;j<a.size();j++)if(j!=i&&a[j][col])a[j]=a[j]^a[i];
	}
}
struct KnightsOut{
	int count(int _n,int _m){
		n=_n,m=_m;
		if(n==1&&m==1)return 1;
		if(n==1)swap(n,m);
		int now=0;
		for(int i=1;i<=2;i++)for(int j=1;j<=m;j++)xsm[i][j].set(++now);
		for(int i=3;i<=n;i++)xsm[i][1].set(++now);
		for(int i=1;i<=n-2;i++)for(int j=1;j<=m-1;j++){
			bitset<3*N> &nw=xsm[i+2][j+1];
			nw.set(now+1),nw^=xsm[i][j];
			for(int k=0;k<8;k++){
				int x=i+dx[k],y=j+dy[k];
				if(ok(x,y)&&!(x==i+2&&y==j+1))nw^=xsm[x][y];
			}
		}
		for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++)if(i>n-2||j>m-1){
			bitset<3*N> nw;
			nw.set(now+1),nw^=xsm[i][j];
			for(int k=0;k<8;k++){
				int x=i+dx[k],y=j+dy[k];
				if(ok(x,y))nw^=xsm[x][y];
			}
			a.pb(nw);
		}
		gauss();
		int cnt=now,ans=1;
		for(int i=0;i<a.size();i++)if(a[i].any()){
			int x=a[i]._Find_first();
			if(x==now+1)return 0;
			cnt--;
		}
		while(cnt--)ans=2*ans%mod;
		return ans;
	}
};