TC11054 - RabbitWorking 题解

先插一嘴，我模拟退火调参没调过去，但是 jgh 调过去了，这说明了什么（

考虑二分答案（想不到）。

对于答案 \(x\)，chk 成功当且仅当存在非空集合 \(S\) 满足 \(\dfrac{\sum\limits_{i,j\in S,i<j}a_{i,j}}{|S|(200-|S|)}\geq x\)，把讨厌的分母乘过去得到 \(\sum\limits_{i,j\in S,i<j}a_{i,j}-x|S|(200-|S|)\geq 0\)。我们考虑把 rabbit 看成点，把 \(a_{i,j}\) 看成边，那么这就与「点导出子图」很相似，即选了一些点就必须把它们之间的边给选上。

考虑把这个思路完善下去。\(-x|S|(200-|S|)\) 这东西怎么处理呢？拆开来得到 \(-200x|S|\) 和 \(x|S|^2\)。前者直接在每个点上赋 \(-200x\) 即可。后者带个平方，那么边的数量是平方的，点是线性的。于是我们从中凑出与边的数量 \(\dfrac{|S|(|S|-1)}2\) 成正比的部分，得到 \(\dfrac{|S|(|S|-1)}2\cdot 2x+|S|x\)，那么前面那部分给边，后面给点即可。

接下来就是要求这个图的边权、点权和最大的（非空）导出子图。这是个经典的玩意，我之前都不知道。事实上，它是可以转化成最大权闭合子图的。我们考虑将边看成点，将点连向边转化成的点表示点选了那么对应边必须选。但这样不符合导出子图，因为这样边一旦有一个点关联它就要选了，而导出子图要求两端都被选才要选。我们考虑个容斥，在点权上把周围一圈边给减到点权里。这样会发现最终边权选出来变成负的了，于是取个相反数即可。

总结起来，边权点权和最大的点导出子图转化为最大权闭合子图的方法是：令新图中的点权为旧图中的点权加上与之关联的边的边权，把旧图中的边在新图中用点表示出来，点权为原边权的相反数，关联它的两个点连向它。对应地，「边导出子图」问题是不可做的，因为你不知道在容斥的时候要减掉几份，而点导出子图中一条边只可能有恰好两个点关联它，情况可数。

那这题就直接做了，就看最大点导出子图的权值是否 \(>0\)（注意不能 \(\geq0\)，因为要屏蔽空集）。这是个流量为实数的最大流，不过不慌，因为 Dinic 复杂度与流量无关。精度需要注意，这题精度要求很高，要把 eps 大胆设成 1e-9。

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upd. 2021.2.5：发现边导出子图也是可做的，并且点 / 边导出子图转化成最大权闭合子图也是要有先决条件的，具体参见网络流刷题笔记 #72（虽然你看不到哈哈哈）