P5904 - HOT-Hotels 加强版 题解

这是一道很不错的理解长剖优化 DP 的题。u1s1 长剖比重剖以及 dsu on tree 需要脑子多了（

我们注意到，符合条件的 \((x,y,z)\) 只可能是一种模型：

    b
   / \
  a   z
 / \
x   y

其中 \(a=\mathrm{LCA}(x,y),b=\mathrm{LCA}(x,y,z)\)。显然需要满足 \(dis(a,x)=dis(a,y)=dis(a,b)+dis(b,z)\)。

因为 \(b\) 能让所有节点包含在子树内，所以考虑枚举 \(b\) 来贡献。然后就是关键一招（强国之路）了（其实这一步是可以在多次尝试屡次失败后最终试到的（）），我们考虑让 \(dis(b,z)\) 来作为贡献者，这样 \(b\) 的左右两边就相对独立了，只需要搞出对于每个 \(dis(b,z)\) 左右两边的方案数，其中左边是只要满足两种距离的差值等于 \(dis(b,z)\)，有效的减少了需要维护的信息。

我们考虑 \(f_{i,j}\) 表示子树 \(i\) 内相对深度为 \(j\) 的点数，\(g_{i,j}\) 表示子树 \(i\) 内满足 \(dis(a,x)=dis(a,y)=dis(a,i)+j\) 的无序对 \((x,y)\) 的数量。用这两者显然就可以轻松的表示出答案式了，并且这两个东西后续可以 DP 转移。它们是对每个点都有该子树深度个值的，不过不用慌，这种大概率能用长剖优化，反而应该高兴。

对答案的贡献的话，由于要求 \(a,z\) 不在同一儿子子树内，所以需要枚举儿子（这也恰好符合长剖的特征，由儿子贡献上来）。那么注意到 \(a=b\) 和 \(b=z\) 这两种特殊情况，无法往下挖一步儿子，需要简单的特殊处理一下。\(a=b\) 就由 \(f\) 按儿子序列扫一遍，维护当前从 \(1,2,3\) 个儿子子树中每个选一个深度为 \(j\) 的点的方案数；\(b=z\) 就是 \(g_{i,0}\)。

那么对答案的正常贡献，我们考虑枚举 \(dis(b,z)\) 和 \(a,z\) 两者分别所在儿子子树：

\[ans\gets ans+\sum\limits_{k,o\in son_i,k\neq o}f_{k,j-1}g_{o,j+1} \]

显然可以用 \(f\) 的整体和优化掉一维。那么这一部分的复杂度，可以看成每个节点都对复杂度有子树深度的贡献。贡献方式有两个，一是参与整体和的计算，而是被枚举到对答案进行贡献。要想长剖优化的话，唯一的思考点在于如何常数继承深儿子，或者说把对深儿子的继承工作给与浅儿子的复杂度均摊掉，这一点只需要它不关于深儿子子树深度大概率就可以做到。对于贡献方式的前者，我们设最大浅儿子子树深度为 \(mx\)，将深儿子继承上来的 \(f\) 的前 \(mx\) 个给直接算进去即可，这样复杂度显然是得以均摊的；对于后者也一样，只搞前 \(mx\) 个，后面的都无效（因为另一个因数一定为 \(0\)）。

下面考虑 \(f,g\) 的转移（求法）。\(f\) 很简单，有

\[f_{i,j}=\sum\limits_{k\in son_i} f_{k,j-1}+[j=0] \]

这就是最常规的长剖了吧。考虑如何常数继承深儿子，就将 \(f\) 右移一位，并在第一位添上 \(1\) 即可。这个东西可以用 deque 来维护（仿佛社会上大多数人用指针维护，我不喜欢这样，看起来没有 deque 自然，不过要是被卡常了就没办法了）。

然后是 \(g\)，它想往儿子转移的话，需要满足 \(dis(a,b)\geq 1\)，否则即 \(a=b\) 的话需要枚举 \(x,y\) 所在儿子子树用 \(f\) 转移，有

\[g_{i,j}=\sum\limits_{k\in son_i}g_{k,j+1}+\sum\limits_{k,o\in son_i,k<o}f_{k,j-1}f_{o,j-1} \]

前面的和式是个左移。后面显然可以前缀和优化，考虑如何搞。就维护一个实时的关于各深度的前缀和，实时更新即可（不能开数组预处理前缀和，因为那样复杂度就变成了轻儿子数乘以最大轻儿子子树深度，就假掉了）；对于深儿子的常数继承，跟整体和类似。

这样就长剖做完了。代码有点长，但是每一步都非常机械化，并不容易写错。来列举一下这种复杂长剖的需要注意的点吧：

1. 继承深儿子时，该贡献的先贡献掉，然后再修改，尤其是该节点上的信息的贡献一定要推后。
2. 可能需要开一堆临时空间（vector 之类），需要搞一个防越界函数，取值就判下标合法，引用就 while(不够)push_back;。
3. 千万不要把临时空间放到全局，这样如果每 dfs 完一个轻儿子就改一次，会在 dfs 轻儿子的时候被改掉或者被清空。

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