P4564 - 假面 题解
这个 CTSC 的题竟然是我自己想出来的，incredible（
分为两个问题：求每个结界技能每个攻击对象被命中的概率，和求最终每个敌方单位的期望生命值。先考虑后者。
显然只有锁定技能能够造成伤害。我们设敌方单位 \(i\) 被命中的锁定技能个数为 \(x\)。将式子列出来：\(\mathrm E(\max(0,a_i-x))\)。这个外面套了一个 \(\max\)，不好线性性展开。于是我们考虑通过期望的定义，求出每个取值的概率。显然取值个数是 \(\mathrm O(v)\) 的，其中 \(v\) 是值域大小。于是我们可以对每个 \(i\) 搞一个背包：\(dp_{i,j}\) 表示敌方单位 \(i\) 在当前时刻生命值为 \(j\) 的概率，在新加进一个锁定技能的时候更新背包的 DP 数组即可。这样一次更新是 \(\mathrm O(v)\) 的，这一部分就是 \(\mathrm O(Qv)\)。最后统计一下答案即可。
然后考虑前一个问题。每个敌方单位被命中，首先要他自己还活着，然后根据活着的总人数来确定他在当前情况下被命中的概率。设他活着的情况下，剩下 \(i\) 个人活着的概率为 \(p_i\)，那么总概率就是 \(\sum \dfrac 1ip_i\)。那么我们考虑求出每个敌方单位所对应的 \(p\) 数组。
显然有一个大暴力：对于每个人都跑一遍背包（\(dp0_{j}\) 表示当前不算第 \(i\) 个人的情况下，考虑到当前，有 \(j\) 个人活着的概率，然后转移用每个人存活的概率，这个可以通过当前 \(dp\) 数组得到），这样一次背包是 \(\mathrm O\!\left(n^2\right)\) 的，总复杂度就是 \(\mathrm O\!\left(Cn^3\right)\)，再优化掉一个 \(n\) 就可以了。
我们注意到，每个人所对应的背包，是所有人减去他一个人的。那么能否先算出所有人的，再对于每个人，减去他自己这个人呢？也就是背包是否可逆呢？显然，如果要去掉的人是总背包 DP 过程中的最后一个更新它的人，那显然很好去掉，倒推一下即可。而众所周知，背包是顺序无关的，也就是你可以当作它以任意一个人结尾，那就对于每个人就可以倒推了。
讲一下倒推的方法：设更新前的 DP 数组为 \(dp0\)，更新后为 \(dp0'\)，那我们想要通过 \(dp0'\) 知道 \(dp0\)。转移显然是
其中 \(alive_i\) 是第 \(i\) 个人（也就是假定的最后一个更新的人）存活的概率。那么
但是这里还有一个问题：\(1-alive_i\) 可能等于 \(0\)，也就是 \(alive_i=1\)。这个需要特判一下。事实上这个简单的一批，不难得到
于是总复杂度 \(\mathrm O\!\left(Qv+Cn^2\right)\)。要注意预处理一些逆元，不然复杂度就多了个 \(\log\)。
