P4292 - 重建计划 题解

这是个淀粉质界的题，但是由于长剖题少，淀粉质题多，这题就用长剖水过去吧！

首先发现这是个 01 分数规划，考虑二分答案 \(x\)，得到 \(\sum(v(e)-x)\geq 0\)。也就是说我们需要找一条长度 \(\leq [L,R]\) 的 \(v-x\) 的和最大的路径。这个是淀粉质的事，但是长剖也是可以做的。

我们考虑计算 \(\forall x\)，以 \(x\) 为 LCA 的这样的路径中的最大边权和。那么一条路径是这样的路径，当且仅当左右两边挂在 \(x\) 的两个不同的儿子子树，并且左右两边的长度之和 \(\leq [L,R]\)。

我们考虑对 \(x\) 如何暴力算。那就维护所有深度的最大前缀和，扫一遍儿子序列，对于每个儿子，先把儿子子树内的全部节点给贡献答案（具体如何贡献，显然另一边符合条件的深度是一个区间，于是用线段树维护所有深度的最大前缀和，区间查询即可），然后更新线段树，是一些单点更新。这样是线对的。

这个显然是可以 dsu on tree 优化的。进一步，一个点处的信息量只与深度相关（维护同一深度的最大前缀和），可以长剖做到整体线对。那么带上二分就是线性二次对数。

code（要开 O2）