P3649 - 回文串 题解
这大概是个 PAM 题，而我们用 Manacher + SA 做。那么如何取代 PAM 这么强大的功能呢？这里有一条在回文子串题中的强大定理（是 yxh 教我的，后来我又到度娘上证实了一下）：一个串的本质不同回文子串个数为 \(\mathrm O(n)\)。证明及分布：考虑归纳，假设 \(a_{1\sim i-1}\) 满足，那么现在考虑以 \(i\) 结尾的回文子串们。那么根据回文的性质，非最长者一定包含在最长者中而被对称到最长者开头，此时结尾不可能是 \(i\)，根据假设一定被在 \(a_{1\sim i-1}\) 中算过。于是只需要算最长者即可（不过不保证最长者没有被重复算）。
那么大部分关于求整串的所有回文子串的信息的题，都可以用这个结论秒掉（除了洛谷上 PAM 模板题，强制在线加入字符就比较恶心）。例如本题，考虑如何求出每个点结尾的最长回文子串，首先先隔一个打一个分隔符，然后 Manacher，每个中心显然会更新某个区间的值。那就差分一波，set 扫一遍即可得到以每个点结尾的最长回文子串的中心。
然后因为这题是要求所有回文子串的某个函数值的 max，所以不用去重。直接考虑对每个回文子串求出现次数。这大概是 SA 的经典用法之一，不过我好像以前从来没用到过？设这个子串为 \([l,r]\)，那么 \([l',l'+r-l]\) 与之相等当且仅当 \(\mathrm{LCP}(l,l')\geq r-l+1\)。那么后缀排序之后，满足条件的 \(l'\) 显然是一个区间，我们只需要找出最靠近某一个位置的满足 \(hi_x<c\) 的两个 \(x\) 即可。这个没像区间前驱后继这么毒瘤，这个只需要线段树上二分即可，就每个节点记录最小 \(hi\) 值即可。
Manacher + SA + 线段树二分板子三合一，轻微卡常，不全开 ll（如果全开 ll 还会 MLE。。。） + O2 就 A 掉了。
