P3647 - 连珠线 题解

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首先它从游戏开始到结束，是始终只有一个连通块的。对于连红边，那就直接连就可以了。对于连蓝边，我们首先需要找到一对有红边直接相连的点，然后拆散它们把新点插进去，然后仍然是一个连通块。稍微等价理解一下，发现其实就是一次连红边是从当前连通块伸出去一个点；而连蓝边肯定是一下就有两条，我们把这次蓝边所对应的红边与这次连蓝边看作一个整体，它可以看成从当前连通块伸出去一个长度为 \(2\) 的链，其中边是蓝色的。

于是我们可以钦定一个点为起始点，把给定树看作以它为根。那么显然在往下伸出去的时候，一口清伸出去的长度为 \(2\) 的链只可能是两端是爷孙关系，而不可能是兄弟关系了。好了！这样就很好 DP 了。

显然一个点只可能作为链的中心 \(0\sim 1\) 次。那么我们考虑 \(dp_{i,0/1}\) 表示子树 \(i\) 内的蓝边最大和，如果第二维为 \(1\) 的话表示 \(i\) 是一条链的中心（它下面有一条边与通向爸爸的边配对）。转移的话，如果为 \(0\) 那么所有儿子都必须是下面剩、边选或下面不剩、边不选，取个 \(\max\) 加起来即可，不需要有什么顾虑；为 \(1\) 的话就必须有且只有一个儿子是下面不剩、边选，找 \(\Delta\) 最大的那个减了加上即可。

然后套路的换根即可。这个求和可逆，不用烦；而求 \(\Delta\) 的 \(\max\) 可以直接无脑的维护一个 set 添加删除即可，复杂度线性对数。然而发现在换根的过程中，一个点的 set 只会被连续删除 \(1\) 次元素，于是实时维护最大值和次大值即可线性，对应的也麻烦一点。

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