P3644 - 八邻旁之桥 题解
首先注意到家和办公室在河同侧的是方案唯一的（就直接走），先算到答案里面去。然后剩下来的都是被分在两岸的。
显然两岸哪个是家哪个是办公室不重要。我们设它们的位置为 \(l\leq r\)。于是如果通过的桥为 \(a\)，不难列出走的路程的式子 \(|l-a|+|r-a|+1\)（我当时就是没想到把式子列出来，进一步通过 \(+\) 号拆成两个独立的元素，而想着以家、办公室的对为最小元素做，这显然是麻烦的），其中这个 \(1\) 也可以预处理掉，剩下两个绝对值之和。
对 \(m\) 分类：
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\(m=1\)。这个其实简单至极，就算不列式也可以轻松做。不过我们已经把式子列出来了，那就照这个思路做吧。我们设这条唯一的桥为 \(a\)，那么答案就是 \(\sum(|l_i-a|+|r_i-a|)\)，不难发现 \(\sum\) 后面的两项也是独立的（这是本题的关键），于是拆开，拆成 \(2n\) 个 \(|x-a|\) 的和。那么根据初一数学我们知道 \(a\) 取 \(x\) 的中位数的时候最优；
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\(m=2\)。依然沿用上面的思路，只不过对于桥 \(a<b\) 每个人可以有两种决策（目前为止还不能拆开，因为家和办公室的决策必须相同）。我们考虑对 \(l,r\)，\(a\) 和 \(b\) 哪个更优呢？分成四类（\(l\) 与 \(a\) 的关系、\(r\) 与 \(b\) 的关系）不难列出条件式：\(l\) 更优当且仅当 \(l-a\leq b-r\)。移项得 \(l+r\leq a+b\)。这样子就是一个关于 \(l_i+r_i\) 的不等式。于是又有了一个结论：按 \(l+r\) 排序后，选左边桥的一定是个前缀，于是选右边桥的是后缀。于是我们考虑惯用套路：枚举这个断点。
断点两边显然是独立的。对于每边，这时候可以将绝对值拆开了，归约到了 \(m=1\) 的时候。于是现在问题就是如何快速求出每个前缀的中位数（又暴露了 APIO 的毒瘤 DS 本质）。显然要从左往右依次加入数。那么维护这个傻子都能想到平衡树，但是 hb 沥尽心血教我们如何不用平衡树、线段树等数据结构，我们也不能辜负他的期望。这个插入数、查 xth 显然离散化然后值域 BIT 倍增也可以。还有一种更简便的方法：维护左右两半的
set，每次插入后调整一下左右两边的相对单调性，然后微调一下两边的元素个数平衡即可，这个还是挺自然的。
