CF36E - Two Paths 题解

如果只选一条路径的话，那就是个欧拉路 / 欧拉回路问题。

考虑两条路径，也就是给定的图一定要是两个欧拉图的并。一个欧拉图可以有 \(0/2\) 个奇点，那么不难得到这个并可以有 \(0/2/4\) 个奇点。对连通性，（注意一定要不考虑孤立点）一个欧拉图必须连通，那么这个并最多有两个连通分量。接下来分类讨论：

1. 两个连通分量。那么一定是两个各是一个欧拉图就可以了，这个非常简单；

2. 一个连通分量。

   1. \(0/2\) 个奇点。那么直接求欧拉路就好了，但是注意到 \(L_1,L_2>0\) 这个限制，如果边数为 \(1\) 的话就不可能了，否则可以把最后一条边拆出来；

   2. \(4\) 个奇点。这个是重头戏（对我来说）。那么拆出来的两个并它的欧拉图，一定是各取了这 \(4\) 个中的两个。初步考虑枚举这个分布，对其中一对先找到它们间任意一条路径，方便起见找简单路（一定存在）。那么不难知道，剩下来的一定只有那另两个点是奇点。但是！！连通性不能保证！！！

      这时候不要自闭。我们假设，把这条路径删去后剩下来被拆成若干个连通分量。其中有两个点是奇点，有两种情况，可能是分散在不同连通分量，也有可能在同一个连通分量。但是前者是不可能的！！！有个结论，一个图的奇个数一定是偶数！证明异常简单，每条边会贡献两个度数，于是总度数是偶数，那么所有奇点的度数和也是偶数，那么奇点一定是偶数个。也就是说，拆除来若干个连通分量中一定有一个是包含两个奇点，其它都没有。那么不难想到，对这个连通分量求欧拉路，然后把其它连通分量给嵌到这条简单路中（一定可行，因为无奇点的图的欧拉路起终点（同一个）任意）。

      但是这样做太麻烦了，我写到一半放弃了（小雾）。发现有一种很简单的方法，直接在任意两个奇点之间连虚拟边，然后跑欧拉路，然后再断开。这种以退为进的思想，是我所想不到的了。

实现也需要注意注意。一开始仗着数据范围水就想用 map 存邻接矩阵，但由于重边的存在，反而没有邻接表好写。。。

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