CF201D - Brand New Problem 题解
首先吐槽一下为什么远古 CF 的题都这么奇怪……题面内容、输入、输出都非常恶心，让人很不爽……不过这道题倒是蛮好的（
首先映入脑帘的是一个状压 DP：\(dp_{i,j}\) 表示当前考虑到第 \(i\) 位，bitmask \(j\) 内的单词都被选的时候的最小逆序对数。转移就看当前这位选不选，\(\mathrm O(1)\)。这样显然光空间就 \(\mathrm O(k2^n)\) 了。
然后我想的是，从 5e5 里面只选 \(n\) 个，那绝大多数都是没用的，能不能找点什么性质把一定没用的给筛掉，这样可以减小 \(i\) 的值域。我想了一天，没想出来一个做法，然后就去看题解了（
注意到题解里的这样一句话：「Let's make use of a standard technique: make the value of DP a new parameter and make one of the existing parameters the value of DP.」（然后后面的笑脸「😃」有些邪恶）。意思就是注意到 DP 值是逆序对数，是 \(\mathrm O(n^2)\) 的，非常小，显然要远小于 DP 数组的任意一维的定义域，于是我们考虑常用套路：调换 DP 数组的定义域和值域（这个套路在 809D 里也用到了，我怎么就还是不会呢）。这个大概要求 DP 值关于这维有单调性，那么用 bitmask 那维来换显然是不行的，难道记录逆序对数等于某个数的任意一个 bitmask？那就显然无法转移了。但是第一维有单调性。于是我们考虑 \(dp_{i,j}\) 表示逆序对数等于 \(i\)，bitmask 为 \(j\) 的最小满足要求的前缀的位置（其实 809D 也大概差不多是这个意思）。
突破了瓶颈，接下来就好办了。考虑如何转移，我们枚举最后一位的单词，然后不难得到上一个 bitmask（和所对应逆序对数，这个要减去前面那些对当前这个单词的贡献）所对应的最小前缀，然后根据贪心显然是找那个前缀后面的第一个这个字符，转移就可以了。这个每个位置的后面第一个每个字符可以预处理出来，那么复杂度就是 \(\mathrm O\!\left(m(kn+2^nn^3)\right)\)，看起来挺大的，但实际常数算是小的，而且时限 5s。
