CF1483D - Useful Edges 题解

不难发现一条边 \((x,y)\) useful 当且仅当存在两个点 \((a,b)\) 满足 \(dis_{a,x}+eg_{x,y}+dis_{y,b}\leq l_{a,b}\)。由于题目保证 \(eg\) 和 \(l\) 的给定都没有重边，所以直接枚举点们是正确的。但是是四方的，考虑优化之。

\(l\) 移过来之后，发现任意一个变量都独立不开来，不好处理。容易发现，四个变量之间的关联关系是一个四元环，而枚举变量可以把当前点删除。我们的目的就是枚举一些点，删点之后使得剩下的都是孤立点，这样就能对每个点独立枚举处理了。

不难发现枚举对角点的方案，例如枚举 \(a,y\)。这样一来 \(dis_{a,x},eg_{x,y}\) 成了关于 \(x\) 的函数，\(dis_{y,b},l_{a,b}\) 成了关于 \(b\) 的函数，于是可以分别独立处理：计算 \(dis_{y,b}-l_{a,b}\) 的最小值，然后枚举 \(x\) 看是否有 \(dis_{a,x}+eg_{x,y}+mn\leq 0\) 即可。这样就降了一方。