CF1461F - Mathematical Expression 题解

先大力分类讨论：

• 有 \(\texttt +\)，此时如果有 \(\texttt-\) 它也没有用，被 \(\texttt+\) 代替会更优。
  • 有 \(\texttt*\)，这是接下来讲的重点；
  • 无，那就全部 \(\texttt+\)；
• 无，此时有 \(\texttt-\) 的话就有用了。
  • 有 \(\texttt-\)。
    • 有 \(\texttt*\)，这个还稍微有点东西，但也非常简单。如果没有 \(0\) 那显然全 \(\texttt*\)，否则答案下限是 \(0\)，然后考虑有 \(\texttt-\) 的情况。那就分成至少两段，第一段的贡献是正的，后面都是负的。那么显然找到第一个 \(0\) 前面都是 \(\texttt*\)，然后 \(\texttt-\) 一下后面都是 \(\texttt*\) 是最优的，因为最大化了第一段也最小化了后面；
    • 无，那就全 \(\texttt-\)；
  • 无，那就全 \(\texttt*\)。

下面重点讨论上述重点。

我们显然有一个平方的 DP，就是考虑对这个 \(\texttt*\) 段 DP，每次用前缀积 \(\mathrm O(n)\) 转移。然后也一脸优化不了。于是我们来找性质。

显然所有 \(0\) 两边都必须是 \(\texttt+\)，如果是 \(\texttt*\) 的话改成 \(\texttt+\) 显然更优。也就是 \(0\) 们把整个数列分成了独立的好几段，考虑对每段分别考虑。

然后如果全部 \(>1\) 的话，显然是全 \(\texttt*\) 最好。但关键有 \(1\) 存在，可以弱化成这样一个结论：相邻两个 \(>1\) 之间必须是 \(\texttt*\)，也容易反证。于是我们把它们缩起来。

那么 \(1\) 可以看作浓缩饼干之间的桥梁。如果想要把两边断开的话，那就全 \(\texttt+\) 最好，否则只能全 \(\texttt*\) 才能连上。于是就变成了对 \(1\) 段们的决策问题，似乎还是需要类似一开始的平方 DP。

但这时候有个好性质：一旦如果全 \(\texttt*\) 能够非常大的话（我取的是 \(10^9\)），那就所有桥梁必须连起来，否则单凭加法的力量是完全被降维打击的。只有两端的 \(1\) 段能够 \(\texttt+\)。然后又因为每段浓缩饼干都 \(\geq2\)，所以这时候段数是 \(\log\) 级的，那怎么乱搞都可以了吧。我们依然考虑上述 DP，前缀积优化转移，记录路径，总复杂度 \(\mathrm O\!\left(n\log^2\right)\)。

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