CF1208F - Bits And Pieces 题解

首先在线性结构上搞是没有前途的，因为这些位运算不满足某些例如与 \(\min/\max\) 的分配律等的好性质。于是我们换个角度，考虑枚举答案，看它们都可行不可行。

容易想到，可以枚举 \(a_i\) 的部分看是否有 \(i<j<k\) 使得 \(a_j\operatorname{and}a_k\) 和 \(a_i\) 或起来能包含当前答案。那么我们显然可以求出对于每个值，\(a_i\) 部分包含它的最小 \(i\) 和 \(a_j\operatorname{and}a_k\) 包含它的最大 \(j\)，如果 \(i<j\) 就可行。后面这个显然更强，但也是不难的，只需要看包含当前值的次大下标即可，这个高维前缀和即可轻松求出。

但是如果向上面这样枚举的话，最快也只能做到枚举子集的 \(\mathrm O\!\left(3^d\right)\)。但是我们注意到要求的是最大的符合要求的值，于是可以按照套路字典序贪心，从高到低位决定（这是本题的关键，也是我看了题解之后发现的东西）。因为容易发现若 \(i\) 包含 \(j\)，则 \(ok(i)\to ok(j)\)。于是这样只需要判断 \(\mathrm O(d)\) 个值是否可行，复杂度 \(\mathrm O\!\left(2^dd\right)\)。

然后发现这个字典序贪心的写法跟普通的倍增代替二分是一样的，尽管它并不满足普遍意义上的单调性。

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