CF1204E - Natasha, Sasha and the Prefix Sums 题解

神仙计数题啊。（或者是我计数太烂了？）

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首先这个最大前缀和的值很难融入到计数里面，很自然的想到对每个最大前缀和计数然后乘起来相加。

最大前缀和恰好等于某数比较难，套路地按差分思想计算最大前缀和小于等于某数的序列个数。但思考无果（

考虑正难则反，求至少有一个位置的前缀和大于等于该数的序列个数。由于起点从零开始，只要算至少有一个位置的前缀和等于该数的序列个数，即画成折线后穿过 \(y=i\) 的个数。

首先如果 \(n-m\geq i\)，那么根据离散版的拉格朗日中值定理或者按照图形直观理解，知道所有序列都满足，答案就是 \(\dbinom{n+m}n\)。否则只需要考虑 \(n-m<i\)。

考虑容斥？考虑仅让第一次到达 \(i\) 的位置做贡献？都思考无果，最好可以做到 FFT 优化的平方对数。下面就是很神仙的一步了！考虑转化，把至少穿过一次 \(y=i\) 的折线这样一个不好数的东西转化成另一个东西。我们发现将这样的折线第一次穿过 \(y=i\) 前面的部分按 \(y=i\) 翻折依然连续，否则不可能连续。那么容易得到 \(2i\to n-m\) 的折线和这样的折线形成双射。而这是好算的！就是 \(\dbinom{n'+m'}{n'}\)，其中 \(n',m'\) 解个方程就可以出来。

时间复杂度平方或线性。

P.S. 解方程过程：\(n'-m'=n-m+2i,n'+m'=n+m\)，解得 \(n'=n+i,m'=m-i\)。（bzd 是哪个毒瘤管理员连二元一次方程组的解法也要求放在紫题题解里/kel/kel）