ARC115E - LEQ and NEQ 题解

第一次遇到容斥与线性 DP 的结合！/se

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正难则反，总方案数是 \(\prod a_i\)，要减去至少对一个 \(i\) 有 \(X_i=X_{i+1}\) 的 \(X\) 的数量。

这玩意就是个显然的容斥了（现在想起来，容斥正是一种特殊的「先算混合物，然后除杂」的思想）。可以把对 \(i\) 满足的看成一个集合，那么要求的就是这些集合的并的大小。而这个 \(2^{?}\) 个集合的大小都是可以显式求的，对于若干个 \(i\) 的并，设它们把位置们连接成了若干个极大的区间 \([l_i,r_i]\)，那么答案就是 \(\prod\min\limits_{j=l_i}^{r_i}\{a_j\}\)。

不难发现，若分成 \(x\) 个区间，就是有 \(n-x\) 个连接处，贡献就是 \((-1)^{n-x+1}\)。然后这玩意算出来是作为减数，贡献就是 \((-1)^{n-x}\)，对于「正难则反」中的总方案数，就是分成 \(n\) 个区间，贡献就是 \(1\)。

那么这个指数级别个集合的并的贡献和该怎么搞呢。它是一个一个区间地乘上去的形式，容易想到线性 DP：把 \((-1)^{n-x}\) 的 \((-1)^n\) 提出来，那么每多一个区间就多个 \(-1\) 的贡献：\(dp_i=-\sum\limits_{j=1}^i\min\limits_{k=j}^i\{a_k\}dp_{j-1}\)。这个就很好处理了，单调栈随便做。

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