ARC072C - Alice in linear land 题解

顺着算。显然任意时刻，你与终点的距离是唯一需要关心的。首先容易想到的是，对询问 \(i\)，显式地求出 \(1\sim i-1\) 作用后的距离 \(v\)。然后经过 \(i\) 的作用显然可能变成任意 \(0\sim v\)。那么该问是 NO 当且仅当，\(0\sim v\) 所有数经过 \(i+1\sim n\) 的作用之后都是 \(0\)。

我们考虑研究，对于一个初始的距离，经过若干作用变成的距离关于初始距离的函数。如果 \(i+1\sim n\) 对应的函数的 \(0\sim v\) 的值都是 \(0\) 的话，就 NO。

但是这个函数太难研究或者维护了。后来我又想研究该函数的前缀最大值，看 \(v\) 处是不是 \(0\)。但是这个前缀最大值函数依然难以研究。

接下来就是我想不到的部分了。注意到 \(0\) 这玩意很特殊，没有值比它更小了，我们大可不必研究更强的问题（研究函数本身），只需要管它的最长 \(0\) 前缀即可。这是一个值（而不是一整个函数），直接从后往前推的时候记录一下，看看能否递推。设上一秒的最前不为 \(0\) 的地方是 \(g\)。恰巧，感性理解可以得到这个函数无论经过多少次作用都是连续的（即 \(|f(x)-f(x+1)|\leq 1\)），所以一定有 \(f(g)=1\)。然后我们要求出经过新加进来这个作用先作用之后，得到的值在 \(f\) 上映射到不为 \(0\) 的最前面的值。脑子想象一下过程，一开始在 \(0\sim g-1\) 里面步长最多为 \(1\) 地瞎走，想要逃出去，必定先经过 \(g\)。于是新的 \(g\) 就是使得 \(\min(x,|x-d|)=g\) 的最小 \(x\)（牛逼吧），讨论一下即可。

这个故事告诉我们：要解决一个问题的时候，我们经常会情不自禁地研究比它更强的看起来更普遍的问题，而恰恰忽略了原问题的特殊性。利用好原问题的特殊性往往能使问题变得更简单，就像这题一样迎刃而解了。