AGC009D - Uninity 题解
给定 \(n\) 个点的树，求其点分树的最小可能的深度。
\(n\leq 10^5\)。
第一个想法是，直接枚举分治中心，然后分裂成若干个连通块，递归下去。这就是个状态数是连通块子图数量的 DP，模拟赛可能能写个记忆化骗个分啥的，正解就不用想了。
我们发现这样正常做完全没思路。我们必须转化，我们必将转化。
intended 的考虑是：给每个点标号 \(d_i\)，代表它在点分树上的深度，求所有合法标号方案的最大标号的最小值。对如何想到这个的，我有两点理解：
- 换贡献体。直接考虑以点的深度序列为贡献体，自然就能想到标号。
- 或者直接认为对节点进行标号就是一种常规的套路，也不是不行，类似于染色法。
我们来考察一个标号方案的合法性的判定。考虑堆砌必要条件。对于两个点 \(x,y\)，它们之间的链上肯定有一个点，是第一次分裂它们的点，也就是在点分树上的 LCA。如果 \(d_x\neq d_y\)，那完全可以令深度小的那个当 LCA，没什么结论；而如果 \(d_x=d_y\)，\(\{x,y\}\) 之间的任何一个都不可能是 LCA，那只能是链中间的。那么就得到了一个看上去挺强的必要条件：对所有 \(d_x=d_y\)，它们的简单路径上必须存在 \(z\) 满足 \(d_z<d_x\)。
我们来试图证明其充分性：尝试根据 \(d\) 还原点分树。首先找到 \(d_x=0\) 的 \(x\)，它显然最多有一个（因为没有小于 \(0\) 的标号），而如果没有的话一定不优，所以 \(x\) 存在且唯一。然后归纳到分裂的若干连通块，只不过最小值为 \(1\)。就这样递归下去，每递归一层最小值就增加 \(1\)，一定能构造出点分树。
现在我们开始全身心最小化合法标号方案的最大标号。考虑树形 DP 的话，需要记录子树对外界的影响：只需要用一个 mask，记录从根往下的所有前缀最小值。注意到由于答案是 \(\mathrm O(\log n)\) 级别，所以这个 mask 只有 \(\mathrm O(n)\)。但仍然无济于事，先不说 DP 的转移非常复杂，状态数本身就要 \(\mathrm O(n^2)\) 了。
容易想到二分答案 \(L\)，限制最大标号不超过 \(L\)，这样问题看似直接降了一个维度，而只付出了 \(\mathrm O(\log\log n)\) 的代价。我们还是要记录一个 mask，而 DP 值变成了 bool 表示是否可行。看起来还是没什么用。
我们注意到：在二分答案之前，叶子处的决策是不确定的；而如今确定了 \(L\)，那么叶子肯定贪心地选 \(L\)，留给上面最多的选择空间。至少在叶子处，DP 的决策是唯一的，局部退化为了贪心。而如果非叶节点的决策也是唯一的，整个 DP 就完全退化为了贪心，不需要再以 mask 为状态，直接记录贪心得到的 mask 即可。这就是说，贪心本质上是每处决策都唯一的退化版 DP。
于是我们来具体看看非叶节点的转移。假设所有儿子的 mask 已经确定，设为 \(S_{1\sim k}\)，如果此时能够找到 \(d_x=u\) 的严格最优解，就得到了贪心。首先，对于同时出现在两个 \(S_i,S_j(i\neq j)\) 里的 \(v\)，必须要有 \(u<v\)，这就得到了一个限制 \(u\leq u_0\)。然后再考虑 \(x\) 自身与子树里的标号也不能违反条件，具体来说就是必须有 \(u\notin \bigcup_i S_i\)。这样 \(x\) 处新的 mask 就是 \(S=\{u\}\cup(\bigcup_i S_i\cap [0,u))\)。
我们能比较选不同的合法的 \(u\) 时，得到的 \(S\) 的严格优劣吗？直觉告诉我们，类似于叶子，\(u\) 应当越大越好，这样看似能留给上面最多的选择空间。稍加思考，发现八九不离十。考虑 \(v=\mathrm{mex}(S)\) 为 \(S\) 今后第一个可能可选的标号，我们发现 \([0,v)\) 永远不可能再被选了，因为想要将某个数从 \(S\) 中清除必须选择一个更小的不在 \(S\) 里的数，而作为前缀连续段这是不可能的。这就启发我们比较两个 \(S\) 的字典序：对于最小的 \(v\)，满足 \([v\in S_1]\neq [v\in S_2]\)，不妨设 \(v\notin S_2\)；当 \(S_{1/2}\) 作为儿子时，不妨设其他 \(S_i\) 都不包含 \(v\)（否则选 \(S_1\) 时 \(u_0<v\)，一定寄了，\(S_2\) 不劣），那么当选择 \(S_2\) 时我们有令 \(d_x=v\) 的权利，显然后续得到的新 \(S\) 优于选择 \(S_1\) 时的任意决策。
这就是说，\(S\) 作为二进制数，字典序越小越好，也就是 \(u\) 应当取合法的最大值。这样决策永远是唯一的，我们成功造出了一个贪心算法。时间复杂度 \(\mathrm O(n\log\log n)\)，代码。
进一步观察这个贪心，发现对不同的 \(L\) 仿佛就是将 \(S\) 们平移了一样，而我们要求的 \(L\) 正是最小的使得各 \(S\) 不渗透到负下标的偏移量。容易想到记录各子树的最小 \(L\) 以及对应的 \(S\)，转移时按最大偏移量进行对齐，再根据需求增大偏移量即可。时间复杂度 \(\mathrm O(n)\)，代码。
