ICG 合并时 SG 函数运算法则 证明

以 0.6 的概率被抽到今天早上考语文和物理，然后两场直接瞎填，语文剩 40min，物理剩 1h，各证明了一个命题。其中这个是物理考试证的（

说起来 1.5 years 前我好像在洛谷博客上胡过一个证明，然后不知为啥删掉了。当年我 sb，不知道把多个 ICG 相加归约成两个 ICG 相加，然后还证出来了，也是蛮牛逼的（

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ICG 合并时 SG 函数运算法则：若 \(G=\sum\limits_{i=1}^nG_i\)，则 \(\mathrm{SG}(G)=\bigoplus\limits_{i=1}^n\mathrm{SG}(G_i)\)。

证明：要证原命题，显然只要证若 \(G=G_1+G_2\)，则 \(\mathrm{SG}(G)=\mathrm{SG}(G_1)\oplus\mathrm{SG}(G_2)\)。只要证对于任意 \(G\) 内的局面 \(P=P_1+P_2\)，其中 \(P_1\) 是 \(G_1\) 内的局面，\(P_2\) 是 \(G_2\) 内的局面，都有 \(\mathrm{SG}(P)=\mathrm{SG}(P_1)\oplus\mathrm{SG}(P_2)\)。

考虑对 \(G\) 的局面 DAG 归纳：

1. 对于任意出度为 \(0\) 的 \(P\)，可反证 \(P_1,P_2\) 在各自的 DAG 中出度也为 \(0\)，于是有 \(\mathrm{SG}(P)=\mathrm{SG}(P_1)=\mathrm{SG}(P_2)=0\)。所以 \(\mathrm {SG}(P)=\mathrm{SG}(P_1)\oplus\mathrm{SG}(P_2)\)；

2. 记局面 \(X\) 在所在 DAG 中的后继局面集合为 \(\delta(X)\)。假设对于所有 \(P'\in \delta(P)\)，都有 \(\mathrm{SG}(P')=\mathrm{SG}\!\left(P'_1\right)\oplus\mathrm{SG}\!\left(P'_2\right)\)。此时需要证 \(\mathrm{SG}(P)=\mathrm{SG}(P_1)\oplus\mathrm{SG}(P_2)\)。根据 SG 函数定义，只要证 \(\mathrm{mex}\{\mathrm{SG}(P')\mid P'\in\delta(P)\}=\mathrm{SG}(P_1)\oplus\mathrm{SG}(P_2)\)。

   根据 ICG 合并的定义，显然有 \(\delta(P)=\{P_1+P'\mid P'\in\delta(P_2)\}\cup\{P'+P_2\mid P'\in\delta(P_1)\}\)。于是只要证 \(\mathrm{mex}\left(\{\mathrm{SG}(P_1+P')\mid P'\in\delta(P_2)\}\cup\{\mathrm{SG}(P'+P_2)\mid P'\in\delta(P_1)\}\right)=\mathrm{SG}(P_1)\oplus\mathrm{SG}(P_2)\)。根据假设，即 \(\mathrm{mex}\left(\{\mathrm{SG}(P_1)\oplus\mathrm{SG}(P')\mid P'\in\delta(P_2)\}\cup\{\mathrm{SG}(P')\oplus\mathrm{SG}(P_2)\mid P'\in\delta(P_1)\}\right)=\mathrm{SG}(P_1)\oplus\mathrm{SG}(P_2)\)。

   根据 \(\mathrm{mex}\) 的定义，只要证：

   1. \(\forall x\in[0,\mathrm{SG}(P_1)\oplus\mathrm{SG}(P_2)),x\in\{\mathrm{SG}(P_1)\oplus\mathrm{SG}(P')\mid P'\in\delta(P_2)\}\cup\{\mathrm{SG}(P')\oplus\mathrm{SG}(P_2)\mid P'\in\delta(P_1)\}\)。

      证明：由 SG 函数定义，此命题显然弱于 \(\forall x\in[0,\mathrm{SG}(P_1)\oplus\mathrm{SG}(P_2)),x\in\{\mathrm{SG}(P_1)\oplus p\mid p\in[0,\mathrm{SG}(P_2))\}\cup\{p\oplus\mathrm{SG}(P_2)\mid p\in[0,\mathrm{SG}(P_1))\}\)。令 \(a=\mathrm{SG}(P_1),b=\mathrm{SG}(P_2)\)，得到 \(\forall x\in[0,a\oplus b),x\in\{a\oplus p\mid p\in[0,b)\}\cup\{p\oplus b\mid p\in[0,a)\}\)，即对于每个 \(x<a\oplus b\) 都能找到两个数异或和为 \(x\)，其中一个是 \(a\) 或 \(b\)，另一个小于异于前者的那个。显然 \(a,b\) 是对称的。

      考虑归纳：

      1. 当 \(a,b\) 最高位数为 \(0\) 时， 只有 \(a=b=0\) 一种情况，显然符合；
      2. 当 \(a,b\) 最高位数 \(>0\) 时，假设最高位数小于当前位数的 \(a',b'\) 都符合。考虑对 \(a,b\) 最高位上的数 \(A,B\) 分类：
         1. \(A=B=1\)。那么 \(a\oplus b\) 的当前位显然为 \(0\)，于是 \(x\) 的当前位为 \(0\)。考虑凑异或和等于 \(x\) 的两个数的当前位都取 \(1\)，然后显然能归约到位数小 \(1\) 的问题上，根据假设有方案；
         2. \(A=0,B=1\)。那么 \(a\oplus b\) 的当前位为 \(1\)，于是 \(x\) 的当前位可能为 \(0\) 或 \(1\)。为 \(1\) 的话就类似上面归约，当前位一个取 \(0\) 一个取 \(1\)；对于为 \(0\) 的，那么就考虑 \(x=a\oplus(x\oplus a)\)，\(a\) 就是 \(a\) 了，\(x\oplus a\) 的当前位显然是 \(0\)，一定 \(<b\)。

      得证；

   2. \(\mathrm{SG}(P_1)\oplus\mathrm{SG}(P_2))\notin\{\mathrm{SG}(P_1)\oplus\mathrm{SG}(P')\mid P'\in\delta(P_2)\}\cup\{\mathrm{SG}(P')\oplus\mathrm{SG}(P_2)\mid P'\in\delta(P_1)\}\)。

      证明：由 SG 函数定义，此命题显然弱于 \(\mathrm{SG}(P_1)\oplus\mathrm{SG}(P_2))\notin\{\mathrm{SG}(P_1)\oplus p\mid p\in\mathbb N,p\neq \mathrm{SG}(P_2)\}\cup\{p\oplus\mathrm{SG}(P_2)\mid p\in\mathbb N,p\neq \mathrm{SG}(P_1)\}\)。即：

      1. \(\forall p\in\mathbb N(p\neq \mathrm{SG}(P_2)),\mathrm{SG}(P_1)\oplus\mathrm{SG}(P_2)\neq \mathrm{SG}(P_1)\oplus p\)。证明：根据异或消去律，\(\mathrm{SG}(P_1)\oplus\mathrm{SG}(P_2)\neq \mathrm{SG}(P_1)\oplus p\) 等价于 \(\mathrm{SG}(P_2)\neq p\)，然后显然得证；
      2. \(\forall p\in\mathbb N(p\neq \mathrm{SG}(P_1)),\mathrm{SG}(P_1)\oplus\mathrm{SG}(P_2)\neq p\oplus\mathrm{SG}(P_2)\)。证明同上。

      得证。

得证。