loj2765 - 冒泡排序 题解

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根据结论，冒泡排序交换次数就是逆序对数。

考虑交换 \(l,r\)，那么逆序对数会减少一些。显然只需要考虑 \(l/r\) 与 \([l,r]\) 内部元素组成的逆序对的增减，\((l,r)\) 还要去重，不难列出逆序对增加个数（就是减少个数的相反数）的式子：

\[-grt(l,r,a_r)+lss(l,r,a_r)-lss(l,r-1,a_l)+grt(l,r-1,a_l) \]

前缀和展开：

\[\begin{aligned}-Grt(r,a_r)+Grt(l-1,a_r)&+Lss(r,a_r)-Lss(l-1,a_r)\\-Lss(r-1,a_l)+Lss(l-1,a_l)&+Grt(r-1,a_l)-Grt(l-1,a_l)\end{aligned} \]

计算使得这个式子最小的 \((l,r)\)。考虑惯用套路：从左到右扫 \(r\)，然后维护当前 \(r\) 情况下的基于 \(l\) 的式子序列。我们令这 \(8\) 项分别 \((1)\sim (8)\)，则不难发现 \((1),(3),(6),(8)\) 仅关于一个变量，脚趾头都能维护。\((5),(7)\) 可以在 \(r\) 上升的过程中，维护一个基于（离散化后的）值域的线段树区间加。那么 \((2),(4)\) 呢？似乎不太可做了。

这时候我们要坚定信念，认为自己的 DS 水平没问题（并不是），肯定是要什么特殊性质才能维护。显然 \(a_l>a_r\) 的时候交换才会使得那个式子为负，那么直觉告诉我们对 \(i<j(a_i>a_j)\)，交换 \((i,r)\) 一定比交换 \((j,r)\) 好。其实也很好证：交换 \((i,r)\) 相当于先交换 \((j,r)\) 再交换 \((i,j)\) 再交换 \((j,r)\)，而其中提及的每次交换都满足式子为负，所以 \((i,r)\) 肯定减少的更多。对 \(r\) 的讨论同理。这便是一个 nice 的性质了。

这样子有效的 \(l,r\) 从左到右分别都是递增的。于是 \((5),(7)\) 的维护中基于值域和基于下标便是等价的了，只需要二分找到对应下标。那么 \((2),(4)\) 呢？注意到 \(a_r\) 单调增，于是任意一个数是否对 \((2),(4)\) 有贡献（若有贡献那么显然贡献的是一个后缀）也是关于时间单调的，装个桶到时候添加 / 删除一下即可。

式子很难推，代码很难写。