Hall 定理 学习笔记

Hall 定理：对一个二分图 \(G=(V_1,V_2,E)\)，对 \(S\subseteq V_1\) 设 \(f(S)\) 为 \(S\) 连到 \(V_2\) 的点集大小，则存在 \(V_1\) 的完美匹配（即大小等于 \(|V_1|\) 的匹配）当且仅当对任意 \(S\subseteq V_1\) 都有 \(|S|\leq|f(S)|\)。（要求右部的话，交换 \(V_1,V_2\) 即可）

扩展 Hall 定理：令 \(M=\max\limits_{S\subseteq V_1}\{|S|-|f(S)|\}\)，则 \(G\) 的最大匹配为 \(|V_1|-M\)。（对左右部作用这个定理都可以得到最大匹配，想不到吧！）

显然扩展 Hall 定理严格比 Hall 定理强。我们来证证扩展 Hall 定理。

• 最大匹配 \(\leq |V_1|-M\) 证明：这个就有点简单了。对 \(|S|-|f(S)|\) 取到 \(M\) 的那个 \(S\) 中显然至少要有 \(M\) 个不能被匹配到；
• 存在大小为 \(|V_1|-M\) 的匹配证明：假设不存在。那么显然一定能找到大小为 \(M+1\) 的非匹配点集 \(S\)，根据 \(M\) 的定义，\(S\) 至少连出去 \(1\) 个点。这个点如果是非匹配点，那么 \(S\) 中与它相连的那个点就可以跟它匹配了，这不符合该匹配是最大匹配。于是这个点必须是匹配点并且和 \(S\) 以外的一个点匹配。我们将这个左部点加入 \(S\)，可以得到当前的 \(S\) 至少连出去 \(2\) 个点，去除先前那个，有另一个。根据上述推导，又可以得到这个是匹配点并且与 \(S\) 外点匹配，又加入 \(S\)，如此辗转反复可以进行无限轮。而点集是有限的，矛盾，得证。

得证。

对于一般的二分图，判完美匹配存在性或者求最大匹配当然是网络流跑最好，但是某些以特殊形式给出、有特殊性质的二分图可以用 Hall 定理做。