高维前缀和 学习笔记
其实是个异常简单的东西……
众所周知，一维前缀和是 \(\mathrm O(n)\) 的，二维前缀和是 \(\mathrm O\!\left(n^2\right)\)（这里假定各维度值域相等）的。那么 \(d\) 维前缀和（这个唤做高维前缀和）就是 \(\mathrm O\!\left(n^d\right)\) 的？显然做不到。这是因为一、二维前缀和常数可以忽略。
那么被忽略掉的常数显然等于计算一个值的时候的式子的项数，一维是 \(2\)，二维是 \(4\)。维数多了以后，你会发现这个常数就是一个 \(d\) 维超立方的顶点数，显然是 \(2^d\)。于是 \(d\) 维前缀和的暴力算法就是 \(\mathrm O\!\left(2^dn^d\right)\)。
我们常遇到这样的问题：在 \(2^d\) 的个 bitmask 上有一些数，求每个 bitmask 的子集和。这可以看作一个 \(n=2\) 的高维前缀和问题。按上面说的算法是 \(\mathrm O\!\left(4^d\right)\) 的，由于这里 \(n=2\) 的特殊性，我们可以枚举子集做到 \(\mathrm O\!\left(3^d\right)\)。是否有更优秀的方法呢？
我们考虑换一种求高维前缀的思路，考虑一维一维的推。先算出在每个位置算出第 \(2\sim d\) 维固定，第 \(1\) 维的前缀和；再算出第 \(3\sim d\) 维固定，第 \(1\sim 2\) 维的前缀和，这个显然是前面那个一维前缀和的前缀和；以此类推，最后可以求出 \(d\) 维前缀和。脑子里面可以脑补一下这个 gif。所以复杂度是 \(\mathrm O\!\left(dn^d\right)\)，\(n=2\) 时就是 \(\mathrm O\!\left(2^dd\right)\)。
然后众所周知前缀和的逆运算为差分，考虑如何计算高维差分（不知道这个东西有没有用）？只需要一维一维算差分即可，这个可能没有什么好理解的数学证明方法，但你可以从高维往低维再对它做高维前缀和运算，发现正好抵消掉了，而高维前缀和显然是维度顺序无关的。
但是不知道有没有 \(\mathrm O(d)\) 查超立方和或者 \(\mathrm O(d)\) 超立方加？可能没有，可能有，有的话肯定也不属于高维前缀和的范畴了。
upd 2020.12.15：其动态做法
我们考虑这样一个问题：求 \(f:f_i=a_i+\sum\limits_{j\subsetneq i}f_j\)。这显然是需要动态维护高维前缀和数组的。但是上面说的方法只能静态。
注意到上述高维前缀和过程其实是这样一个 DP：\(Sum_{i,j}\) 表示值 \(i\) 的 \(j\) 维前缀和，那么转移就是上一个值的 \(j\) 维前缀和加上当前值的 \(j-1\) 维前缀和。显然关于 \(i\) 和 \(j\) 的两层循环哪层在外无所谓，因为关于哪一维都是无后效性的。上述高维前缀和求法本质上就是这个 DP 的外层为 \(j\) 的转移顺序，然后因为每个阶段只可能转移到上一个阶段，所以可以省略掉 \(j\) 这一维。而局限性就在于无法动态。
动态的呢，动态过程显然是按照 \(i\) 在外枚举的，那这时候就省不掉维了。乖乖 DP 就好了，复杂度不变。
动态高维差分就一个道理啦。
例题
CF449D - Jzzhu and Numbers
容斥 + 高维前缀和一般题（ymx 附体）
选的一个集合满足条件，显然当且仅当每一位都有人是 \(0\)。于是我们考虑每个数能够满足哪些位（就是取反）。
考虑反面考虑，求至少有一位没有被满足的方案数。这样就可以很舒服的容斥了。于是现在只要求对于任意 bitmask \(x\)，\(x\) 内的位不被满足，其他位随便的方案数。这显然就是只有 \(x\) 的补 bitmask 的子集才能选，而且任意一种选的方案都是可以的，那么设 \(x\) 的补 bitmask 的子集中有 \(cnt\) 个给定的，那么它对答案的贡献就是 \(2^{cnt}\) 乘以容斥系数。
那么问题就成了求对于所有 bitmask，求出他的被给定的子集数。那这不就是个高维前缀和板子嘛？
CF76C - Mutation
ARC100C - Or Plus Max
考虑对于每个 \(K\) 求出下标为 \(K\) 子集的最大 \(a_i+a_j\)。那么显然一个是最大值，一个是次大值，这个是高维前缀和（前缀最值、次值）可以轻松计算的。
但这样子是假的，因为 \(\leq K\) 不等于是 \(K\) 的子集。但很显然是 \(\leq K\) 的所有数的子集的并。于是按原先算法算出来答案后取个前缀 \(\max\) 即可。
