CodeChef COVERING - Covering Sets 题解

蒟蒻 CC 首 A 祭！写篇题解纪念一下。

虽然并没有那么难，但是我想了整整一周，今天不知道怎的英语课看电影的时候就想出来了（

先考虑只有两个数组 $A,B$ 的情况，是要求 $\sum\limits_iR(i)$ 的值。

如果 $R$ 的定义是 $i$ 能覆盖 $j\cup k$ 的话，那就非常简单了，就直接枚举 $i$ 然后高维前缀和相乘就可以了（这个后面说）。但实际上是 $j\cup k$ 覆盖 $i$ ，这两者本质是不同的。我们考虑先换个贡献体，用 $(j,k)$ 来贡献，那么答案就是 $\sum\limits_i\sum\limits_jA_iB_j2^{|i\cup j|}$ 。

然后这个你要是直接枚举 $i$ 的话，那么最好也只能做到子集枚举的复杂度（以我当前水平）。我们考虑枚举 $i\cup j$ 的值，本质上也是一次换贡献体，那么答案是 $\sum\limits_k2^{|k|}\sum\limits_{i\cup j=k}A_iB_j$ 。

那么我们只需要求出 $\forall k,\sum\limits_{i\cup j=k}A_iB_j$ 。这个可以很自然的想到这样一个思路：先看 $\sum\limits_{i\subseteq k}\sum\limits_{j\subseteq k}A_iB_j$ ，这个可以把 $A_i$ 往前移一格，然后就变成了 $A,B$ 两个数组的高维前缀和相乘（就是前面说要后面说的那个东西）。这个式子中的 $(i,j)$ 可以保证 $i\cup j\subseteq k$ ，但是不一定 $=k$ 。不难想到把 $i\cup j\subsetneq k$ 的那些 $(i,j)$ 的贡献给删掉，不难想到这样一个 DP： $dp_i=SumA_iSumB_i-\sum\limits_{j\subsetneq i}dp_j$ 。

求这个 DP 数组的话，最直观的想法是动态维护高维前缀和，但这真的可做吗……（upd. 2020.12.25：好像真的可做，真香/cy（那这个高维差分不就可以用动态高维前缀和随便做了吗））其实这个 $d_i=a_i-\sum\limits_{j\subsetneq i}d_j$ 这个形式是一个很经典的东西，它是高维差分的一个经典模型。高维差分这个东西本身不是很好理解，但可以用它的逆运算——高维前缀和来理解它，不难发现由 $d_i=a_i-\sum\limits_{j\subsetneq i}d_j$ 有 $a_i=\sum\limits_{j\subseteq i}d_j$ ，由后面是高维前缀和可以得到前面就是高维差分。那么就 $\mathrm O(2^nn)$ 算一下就可以了。