群论究极基础

观前提醒：此文年代过于久远，不保证内容的准确性，有锅我是不会修的。

基础概念

群的定义

群的形式化定义：一个由集合 $G$ 和定义在 $G$ 上的二元运算 $\cdot$ 组成的有序对 $(G,\cdot)$ 是一个群 $\mathbb G$，当且仅当满足（以下描述在不产生歧义的情况下，均省略 $\cdot$ 号）：

1. 封闭性：对任意 $x,y\in G$ 有 $xy\in G$。
2. 运算有结合律：对任意 $x,y,z\in G$ 有 $(xy)z=x(yz)$。
3. 左单位元（单位元也称幺元）存在：存在 $e\in G$ 满足对任意 $x\in G$ 有 $ex=x$，此时 $e$ 称为左单位元。
4. 左逆元存在：对任意 $x\in G$ 存在 $y$ 满足 $yx=e$，此时称 $y$ 为 $x$ 的左逆元。

基于以上定义，我们可以证明以下基本定理，使得定义更完善：

1. 类似定义右单位元，则左单位元是右单位元。证明：对 $x\in G$，设其左逆元为 $y$，$y$ 的左逆元为 $z$，则 $xe=exe=(zy)xe=z(yx)e=zee=ze=z(yx)=(zy)x=ex=x$。同理可证右单位元一定是左单位元。基于此，我们可以称左、右单位元为单位元。
2. 单位元唯一。证明：设有两个单位元 $e,e'$，则 $ee'=e=e'$。
3. 类似定义右逆元，则 $x$ 的左逆元是 $x$ 的右逆元。证明：设 $x\in G$，其左逆元为 $y$，$y$ 的左逆元为 $z$，则 $xy=exy=zyxy=z(yx)y=zy=e$，所以 $y$ 也是 $x$ 的右逆元。同理可证右逆元一定是左逆元，所以我们称左、右逆元为逆元。
4. 逆元唯一。证明：设 $x$ 有两个逆元 $y,y'$，则 $yxy'=ye=ey'$，即 $y=y'$。基于此，我们记 $x$ 的逆元为 $x^{-1}$。
5. 逆元的逆元为本身。显然。
6. 左消去律：若 $xy=xz$，则 $x^{-1}xy=x^{-1}xz$，所以 $y=z$。右消去律类似：若 $yx=zx$ 则 $y=z$。

对群 $\mathbb G=(G,\cdot)$，若 $G$ 是有限集合，则称 $\mathbb G$ 为有限群，否则称为无限群。若为有限群，则定义 $\mathbb G$ 的阶为 $G$ 的基数，记为 $|\mathbb G|$。

群与对称性

这里我们来聊聊群的哲学意义（其实是现实意义，只是我觉得很抽象所以才称作「哲学意义」）。这部分是本文唯一的感性的部分，缺乏严谨，仅供参考，不适用于群论的形式化推导。

群最初用来描述对称性。所谓对称性，就是说一个东西在作用于它的操作前后的不变性。u1s1，此处用「不变」这个词感觉有点怪，不妨换成我们可以自定义（只要满足其为等价关系）的「等价」一词。亦即：这个东西确实变了，但是我们认为它们在改变前后等价。而群论正是把任何物体（基于我们定义的等价）的所有对称操作抽象出来，放到一个集合里，称为群。

形式化定义完群，我们尝试将对称操作带入。所有对称操作的集合为 $G$，对应的二元关系 $\cdot$ 为复合 $\circ$。首先操作复合的结合律是显然的，剩下的三条分别对应等价关系的三个性质：

• 自反性对应单位元。由于物体的初始状态等价于自身，所以恒等变换属于操作群，而其自然是单位元。
• 对称性对应逆元。设物体由初始形态 $A$ 变为形态 $B$ 的操作为 $g$，反之为其逆操作 $g^{-1}$。设 $A$ 等价于 $B$，则 $g\in \mathbb G$；而由于对称性，$B$ 也等价于 $A$，所以 $g^{-1}\in \mathbb G$。
• 传递性对应封闭性。若物体由初始形态 $A$ 变为形态 $B$ 的操作为 $g$，由形态 $B$ 变为形态 $C$ 的操作为 $h$。设 $A$ 等价于 $B$，$B$ 等价于 $C$，则 $g,h\in \mathbb G$；而由于传递性，$A$ 也等价于 $C$，所以 $g\circ h\in \mathbb G$。

对于形式化定义的任何群，只要你想象力够丰富，都可以给其元素赋予一个操作的含义，并认为二元运算为复合，不改变群的结构。例如整数 / 有理数 / 实数 / 复数加法群中的数，可以看作一 / 二维向量，将数轴 / 复平面移动的位移；整数 / 有理数 / 实数去掉 $0$ 后的乘法群中的数，可以看作对数轴的缩放倍数；复数去掉 $0$ 后的乘法群中的数，可以看作复平面上的线性变换；可逆矩阵乘法群，可以看作高维的可逆线性变换。

扩展定义

半群、幺半群

• 若一个 (集合, 二元运算) 有序对只满足群定义的前两条，则称为半群，例如 $\R$ 上的 $\min/\max$ 半群、$\N$ 上的按位与半群；若还满足第三条（有单位元），则称为幺半群，例如含零乘法半群、$\R\cup\{\pm\infty\}$ 上的 $\min/\max$ 半群、$\N$ 上的按位或半群。我们注意到，当证明群一定有右单位元时用到了左逆元存在性，于是对幺半群并不适用，所以幺半群关于单位元的定义必须定义成 $ex=xe=x$。
• 若一个群的二元运算还满足交换律，则称其交换群或阿贝尔群，如各种（模意义下）加法群、乘法群，但可逆矩阵乘法群不是。若一个（幺）半群还满足交换律，则称为交换（幺）半群。

群判定定理：若半群 $(G,\cdot)$ 满足对任意 $a,b\in G$ 方程 $xa=b$ 和 $ay=b$ 都有解（要求 $x,y\in G$），则 $(G,\cdot)$ 是群。
证明：任取 $b\in G$，令 $a=b$ 得到 $eb=be=b$。而对于其它 $a\in G$，由于 $bx=a$ 有解，则 $ea=e(bx)=(eb)x=bx=a$；由 $xb=a$ 有解也可以推出 $ae=a$。所以 $e$ 是单位元。那么逆元存在性就显然了。$xa=e$ 的解就是其逆元。

有限群判定定理：若有限半群 $(G,\cdot)$ 满足消去律，则 $(G,\cdot)$ 是群。
证明：对所有 $a\in G$，将 $G$ 中所有元素左乘 $a$ 得到 $G'$。由消去律可知 $G'$ 中无相等元素（如有 $ax=ay$，则 $x=y$，与 $G$ 作为集合的互异性矛盾），即 $|G|=|G'|$。由封闭性可知 $G'\subseteq G$，再结合 $|G|=|G'|$ 得 $G=G'$。所以对任意 $b\in G$，$ax=b$ 都有解。同理，改为右乘可知对任意 $a,b\in G$，$xa=b$ 都有解。得证。
注意到上述证明用到了集合大小的比较，这在无限集合中不成立，所以该判定定理只对有限半群有效。

环初步

定义：一个集合 $R$ 和两种定义于其上的二元运算 $+,\cdot$ 构成的三元组 $(R,+,\cdot)$ 是一个环当且仅当：

1. $(R,+)$ 是一个阿贝尔群，记其单位元为 $0$，称为该环的零元；记 $x$ 的逆元为 $-x$，称为其负元。
2. 记 $R^*=R-\{0\}$，那么 $(R^*,\cdot)$ 是一个半群。
3. $\cdot$ 对 $+$ 满足分配律。注意到 $\cdot$ 不一定可交换，所以要限制左分配律 $a(b+c)=ab+ac$ 和右分配律 $(b+c)a=ba+ca$。

我们可以知道：在环 $(R,+,\cdot)$ 中，$0$ 乘任何数等于 $0$。证明：对 $x\in R$，有 $0x+0x=(0+0)x=0x=0+0x$，跟据加法阿贝尔群的消去律得到 $0x=0$。

若乘法半群 $(R^*,\cdot)$ 还有单位元（即为幺半群），则称为幺环，乘法单位元记作 $1$，称为幺元，例如 $n$ 阶矩阵环 $\left(\R^{n\times n},+,\times\right)$，零元和幺元分别为 $O,I$。若乘法半群可交换（即为交换半群），则称交换环，例如 $(\R,+,\max)$。若两者都满足（乘法半群为交换幺半群），则称交换幺环，例如 $(\R,+,\times)$。

定理：设有交换环 $(R,+,\cdot)$，令 $R$ 上的多项式集合为 $P=\left\{\sum\limits_{i=0}^na_ix^i\mid n\in \N,a_i\in R\right\}$，$x$ 为 $R$ 上的自变量，并通过 $+,\cdot$ 定义 $P$ 上的二元加法、乘法（系数对应项加、系数序列卷积），则 $P$ 与这两种运算也构成交换环，记为 $R[x]$。证明是容易的。

对于一个环 $(R,+,\cdot)$，如果存在两个非零元素 $x,y\in R$ 满足 $xy=0$，则称 $x$ 为一个左零因子，$y$ 为一个右零因子。如果是交换环，则不区分左右。无零因子交换幺环称为整环。

域初步

定义：一个环 $(F,+,\cdot)$ 是一个域当且仅当 $(F^*,\cdot)$ 是一个阿贝尔群，且满足 $1\neq 0$，记 $x$ 的乘法逆元为 $x^{-1}$。例如实数域 $\R$、有理数域 $\Q$、复数域 $\C$、模质数 $p$ 意义下整数域 $\mathbb F_p$，但整数不是域。

Q：为什么乘法逆元要排除 $0$？
A：因为 $0$ 乘任何数都等于 $0$，不可能有乘法逆元。

域一定没有零因子。证明：在域 $\mathbb F=(F,+,\cdot)$ 中，若存在非零元素 $x,y\in F$ 满足 $xy=0$，即 $xy=0y$，则跟据消去律有 $x=0$，矛盾。

对于一个域 $\mathbb F$，定义它的特征为最少多少个 $1$ 相加等于 $0$，如果不可能，则特征为 $0$。
定理：任何一个域的特征如果不是 $0$，则一定是质数。
证明：设域 $\mathbb F$ 的特征为 $n$，首先不可能 $n=1$，因为那样就 $1=0$ 了。设 $n$ 为合数，随意分解成两个大于 $1$ 的数的乘积 $n=pq$。记 $a1$ 表示 $a$ 个 $1$ 相加，则易证 $n1=p1\cdot q1$，于是有 $p1\cdot q1=0$。由于域没有零因子，所以 $p1$ 和 $q1$ 至少有一个为 $0$，与特征为 $n$ 矛盾。得证。

群的子系统

子群

定义一个群 $\mathbb H=(H,\cdot)$ 是群 $\mathbb G=(G,\cdot )$ 的子群当且仅当 $H\subseteq G$ 且定义相同的二元运算，记为 $\mathbb H\leq \mathbb G$。若 $\mathbb H\neq\mathbb G$ 则称为真子群，记为 $\mathbb H<\mathbb G$。对于每个群，仅包含单位元的群和其自身为平凡子群，其余为非平凡子群。
子母群单位元相同。证明：跟据定义，显然母群的单位元是子群的单位元，结合单位元唯一性得证。
若 $x$ 同时出现在子母群中，则其在母群中的逆元也在子群中，并且为其在子群中的逆元。证明：跟据逆元的唯一性可知除了 $x^{-1}$，没有其他的 $\mathbb G$ 中的元素 $y$ 使得 $xy=yx=e$，然后显然得证。

显然：如果我们知道 $H\subseteq G$，那么我们只要证明 $(H,\cdot)$ 成群则可知 $(H,\cdot)\leq \mathbb G$。一个简单的判定法则是：满足封闭性、$\mathbb G$ 中的 $e$ 在 $H$ 中、每个元素有逆元。

子群判定定理：对群 $\mathbb G=(G,\cdot)$，若非空集合 $H\subseteq G$ 且对任意 $x,y\in H$ 满足 $xy^{-1}\in H$，则 $(H,\cdot)$ 成群。
证明：令 $x=y$ 知单位元存在。令 $x=e$ 知逆元存在。令 $x=x',y=(y')^{-1}$ 知封闭性。得证。

有限子群判定定理：对群 $\mathbb G=(G,\cdot)$，若非空有限集合 $H\subseteq G$ 且 $\cdot$ 在 $H$ 上满足封闭性，则 $(H,\cdot)$ 成群。
证明：既然继承了运算，且满足封闭性，则 $(H,\cdot)$ 显然是半群，且满足消去律，跟据有限群判定定理得证。

易证两个子群的交依然是子群，但是并却不一定。
定理：$\mathbb G$ 的任意两个真子群 $\mathbb H,\mathbb I$ 的并都不等于 $\mathbb G$。
证明：反证法，假设 $\mathbb H\cup\mathbb I=\mathbb G$。任取 $h\notin\mathbb H,i\notin\mathbb I$，则必然有 $h\in\mathbb I,i\in\mathbb H$，那么 $h^{-1}\in\mathbb I,i^{-1}\in \mathbb H$。考虑 $hi$，若 $hi\in \mathbb I$，则 $h^{-1}hi=i\in\mathbb I$，矛盾；若 $hi\in\mathbb H$，则 $hii^{-1}=h\in\mathbb H$，矛盾。所以 $hi\notin\mathbb H\cup\mathbb I$，于是 $\mathbb H\cup\mathbb I\neq \mathbb G$。

陪集、同余

对于 $H\subseteq\mathbb G$，任取 $x\in\mathbb G$，令集合 $xH=\{xh\mid h\in H\}$，$Hx=\{hx\mid h\in H\}$。如果 $H$ 关于母群运算成群 $\mathbb H$，我们称 $x\mathbb H$ 为 $\mathbb H$ 关于元素 $x$ 的左陪集。同理可定义右陪集，那么元素与子群的运算可以写成 $abc\mathbb Hdef$ 这样的形式，不难证明这是有结合律的。本段以左陪集为例进行研究，右陪集有类似的结论。

容易知道 $\mathbb H$ 关于任意元素 $x$ 的陪集的阶都为 $|\mathbb H|$（当然要求 $\mathbb H$ 是有限群），因为跟据消去律可证 $xh$ 们没有重复。

定理：$x\mathbb H=\mathbb H$ 当且仅当 $x\in\mathbb H$（后推前就是重排定理）。
证明：后推前我们在之前证明有限群判定定理时已经证明过，但那不适用于无限群。仔细想想，我们之前要证的是 $\mathbb H$ 仅仅是个有消去律的半群，而此时 $\mathbb H$ 是个群，那就简单了。直接考虑 $y\in x\mathbb H$ 等价于 $yx^{-1}\in\mathbb H$，这显然对且仅对 $y\in\mathbb H$ 有效。前推后也很简单，如果 $x\notin\mathbb H$，跟据子群的封闭性可知 $x^{-1}\notin\mathbb H$，即 $xx^{-1}=e\notin x\mathbb H$，那么 $x\mathbb H$ 连群都不是。
定理：$x\mathbb H$ 成群当且仅当 $x\in\mathbb H$。仿照上例显然。

进一步，我们可以得到更强的结论：考察任意 $x\in\mathbb G$ 得到的左陪集 $x\mathbb H$，对任意 $y\in x\mathbb H$ 都有 $y\mathbb H=x\mathbb H$。证明：$y\in x\mathbb H$ 即 $x^{-1}y\in\mathbb H$，所以 $x\mathbb H=x\!\left(x^{-1}y\mathbb H\right)=\left(xx^{-1}\right)y\mathbb H=y\mathbb H$。
说人话就是每个 $x\in \mathbb G$ 都满足 $x$ 左乘 $\mathbb H$ 就等于自己所在的 $\mathbb H$ 的左陪集。潜台词便是 $\mathbb H$ 的所有左陪集无交，否则就会存在某个 $x$「左乘 $\mathbb H$ 同时等于两个不同的左陪集」了。于是我们知道，$\mathbb H$ 的所有左陪集形成了 $\mathbb G$ 的一个划分。
定义关于 $x,y\in\mathbb G$ 的同余关系，记作 $x\equiv y\pmod{\mathbb H}$（右陪集记为 $x\equiv_{\mathrm r}y\pmod{\mathbb H}$），使以下事情等价：

• $x\equiv y\pmod{\mathbb H}$。
• $x\mathbb H=y\mathbb H$。
• $x,y$ 所在 $\mathbb H$ 左陪集相等。
• $x^{-1}y,y^{-1}x\in\mathbb H$。

显然，同余是等价关系。

拉格朗日定理

结合前面的两个结论——$\mathbb H$ 的所有左陪集的阶都等于 $|\mathbb H|$、$\mathbb H$ 的所有左陪集形成对 $\mathbb G$ 的一个划分，我们立刻可以得到拉格朗日定理：
对有限群 $\mathbb G$ 的任意子群 $\mathbb H$，都有 $|\mathbb H|\mid |\mathbb G|$，$\mathbb H$ 的所有左陪集将 $\mathbb G$ 划分成了 $\dfrac{|\mathbb G|}{|\mathbb H|}$ 个部分。

正规子群

对于群 $\mathbb G$，我们定义其两个子集合 $H,I$ 的乘法为集合 $HI=\{hi\mid h\in H,i\in I\}$。这样我们便有了 $\mathbb G$ 中元素与子群的混合运算，例如 $abc\mathbb Hdef\mathbb Ighi$ 之类。也不难证明这是有结合律的（把元素 $x$ 当成集合 $\{x\}$ 即可）。

对群 $\mathbb G$，定义其子群 $\mathbb H$ 为正规子群当且仅当对任意 $x\in \mathbb G$，都有 $x\mathbb H=\mathbb Hx$，即 $x\mathbb Hx^{-1}=\mathbb H$，亦即左陪集等于右陪集，记作 $\mathbb H\trianglelefteq \mathbb G$。两个平凡子群显然都是正规子群，称为平凡正规子群，其余称为非平凡正规子群。若 $\mathbb H\trianglelefteq\mathbb G$ 且 $\mathbb H\neq \mathbb G$，称其为真正规子群，记作 $\mathbb H\triangleleft\mathbb G$。

正规子群与元素的乘法是可交换的。一个仅有正规子群和元素构成的混合乘法式甚至可以随意移动正规子群和元素，只要两种因子内部相对顺序不变。容易发现，阿贝尔群的每个子群都是正规子群。

正规子群判定定理：对 $\mathbb H\leq \mathbb G$，如果对任意 $x\in\mathbb H,y\in\mathbb G$ 都有 $yxy^{-1}\in\mathbb H$，则 $\mathbb H\trianglelefteq\mathbb G$。
证明：此时显然对任意 $y\in\mathbb G$ 都有 $y\mathbb Hy^{-1}\subseteq\mathbb H$，即 $y\mathbb H\subseteq \mathbb Hy$。另一方面，这也可以推导出对任意 $z\in\mathbb G$ 都有 $\mathbb Hz^{-1}\subseteq z^{-1}\mathbb H$，取 $y=z^{-1}$ 得到 $\mathbb Hy\subseteq y\mathbb H$。所以 $y\mathbb H=\mathbb Hy$，得证。

定理：正规子群与子群的积仍然是子群。
证明：设 $\mathbb H\trianglelefteq \mathbb G,\mathbb I\leq\mathbb G$，跟据子群判定定理只要证对任意 $h_1,h_2\in\mathbb H,i_1,i_2\in\mathbb I$，有 $h_1i_1i_2^{-1}h_2^{-1}\in\mathbb{HI}$。首先有 $i_2^{-1}h_2^{-1}\in\mathbb{HI}=\mathbb Hi_1^{-1}\mathbb I=i_1^{-1}\mathbb{HI}$，所以 $i_1i_2^{-1}h_2^{-1}\in\mathbb{HI}$。然后有 $i_1i_2^{-1}h_2^{-1}\in\mathbb{HI}=h_1^{-1}\mathbb{HI}$，所以 $h_1i_1i_2^{-1}h_2^{-1}\in\mathbb{HI}$。凭空生成 $h$ 本来就可以，但是凭空生成 $i$ 借助了正规子群与元素乘积的交换律。至于 $\mathbb{IH}$，证明过程类似。
定理：正规子群与正规子群的积仍然是正规子群。
证明：设 $\mathbb H,\mathbb I\trianglelefteq \mathbb G$，则对任意 $x\in\mathbb G$，有 $x\mathbb{HI}x^{-1}=\mathbb Hxx^{-1}\mathbb I=\mathbb{HI}$。也是利用了交换律。
但是不像子群，正规子群不一定有传递性。

商群

对于 $\mathbb H\trianglelefteq\mathbb G$，显然有 $\mathbb H\mathbb H=\mathbb H$。考虑 $\mathbb H$ 的所有陪集（因为是正规子群，所以左陪集和右陪集是一样的）的集合 $S$，取出其中任意两个陪集 $x\mathbb H,y\mathbb H$，我们发现它们的乘积 $x\mathbb Hy\mathbb H=xy\mathbb H\mathbb H=(xy)\mathbb H$ 还是一个陪集！也就是说 $S$ 关于乘法有封闭性。这就诱导我们引入一个新的群，现在来验证一下单位元和逆元。

显然，单位元为 $\mathbb H$，因为 $x\mathbb H\mathbb H=x(\mathbb H\mathbb H)=x\mathbb H$。那么 $x\mathbb H$ 的逆元便显然为 $x^{-1}\mathbb H$。如此，我们知道 $(S,\cdot)$ 成群，称为群 $\mathbb G$ 模正规子群 $\mathbb H$ 的商群，记为 $\mathbb G/\mathbb H$。显然 $|\mathbb G/\mathbb H|=\dfrac{|\mathbb G|}{|\mathbb H|}$。

我们发现商群和原群很相似，就仿佛是抹去了模 $\mathbb H$ 同余的元素的差别，相当于把它们合并了。例如商群的单位元就是原群单位元所在陪集，以及商群中一对互逆的陪集放到原群里也可以把互逆元素两两匹配，可以说是「简化版的 $\mathbb G$」，继承了原群的性质，但没完全继承。

一个典型的例子是整数加法群 $\Z$，易证所有 $n\Z$ 都是 $\Z$ 的正规子群（因为 $\Z$ 是阿贝尔群），并且 $\Z/n\Z$ 就是模 $n$ 整数加法群（记作 $\Z_n$），每个陪集是模 $n$ 同余的一个剩余类，相当于把剩余类中元素合并了。

同构、同态

群同构

对两个群 $\mathbb G,\mathbb H$，如果能构造双射 $\varphi:\mathbb G\to\mathbb H$ 使得对所有 $x,y\in\mathbb G$ 都有 $\varphi(xy)=\varphi(x)\varphi(y)$（等号两边的乘法分别是两个群的乘法），那么称 $\varphi$ 是一个 $\mathbb G$ 和 $\mathbb H$ 之间的同构，并称 $\mathbb G$ 同构于 $\mathbb H$，记作 $\mathbb G\cong\mathbb H$。同构顾名思义，表示两个群结构相同，完全可以当成同一个群来看待，这也是为什么群论把普通的「对称操作」抽象出来形式化研究。

同构显然是等价关系：每个群都同构于自己，映射为恒等映射；若 $\mathbb G$ 同构于 $\mathbb H$，映射为 $\varphi$，则反过来也有同构映射 $\varphi^{-1}:\mathbb H\to\mathbb G$（因为同构是双射）；若 $\mathbb G\cong\mathbb H\cong\mathbb I$，映射分别为 $\varphi,\varphi'$，则 $\mathbb G\cong\mathbb I$，映射为 $\varphi\circ\varphi'$。

群同态

群同态比群同构有趣得多。

群同构要求是双射，现在去掉这个限制（既可以不是单射，也可以不是满射）可以定义一个群 $\mathbb G$ 到另一个群 $\mathbb H$ 的同态映射 $\varphi$。注意到对任意两个群 $\mathbb G,\mathbb H$，将 $\mathbb G$ 的所有元素映射到 $\mathbb H$ 的单位元就是一个同态，所以任意两个群都存在同态，故我们不研究两群之间同态的存在性。称是单射的同态为单同态，是满射的同态为满同态，既是单同态又是满同态的同态就是同构。

群同态的保幺性：对同态 $\varphi:\mathbb G\to\mathbb H$，有 $\varphi(e_{\mathbb G})=e_{\mathbb H}$，其中 $e_{\mathbb A}$ 表示群 $\mathbb A$ 的单位元。证明：对任意 $x\in\mathbb G$ 有 $\varphi(e_{\mathbb G})\varphi(x)=\varphi(e_{\mathbb G}x)=\varphi(x)$。
群同态的保逆性：对同态 $\varphi:\mathbb G\to\mathbb H$，对所有 $x\in\mathbb G$ 有 $\varphi(x)^{-1}=\varphi\!\left(x^{-1}\right)$。证明：$\varphi(x)\varphi\!\left(x^{-1}\right)=\varphi\!\left(xx^{-1}\right)=\varphi(e_{\mathbb G})=e_{\mathbb H}$。

群结构在满同态上的传递性：与群 $\mathbb G$ 满同态的结构 $H$ 成群。证明：设 $\varphi$ 为同态，则

• 封闭性：任取 $x,y\in H$，由于是满同态，则存在 $x',y'\in\mathbb G$ 满足 $\varphi(x')=x,\varphi(y')=y$，则 $xy=\varphi(x')\varphi(y')=\varphi(x'y')\in H$。
• 结合律：任取 $x,y,z\in H$，存在 $x',y',z'\in\mathbb G$ 满足 $\varphi(x')=x,\varphi(y')=y,\varphi(z')=z$，则 $(xy)z=(\varphi(x')\varphi(y'))\varphi(z')=\varphi(x')(\varphi(y')\varphi(z'))=x(yz)$。
• 单位元：对 $x\in H$，存在 $x'\in\mathbb G$ 满足 $\varphi(x')=x$，则 $\varphi(e_{\mathbb G})x=\varphi(e_{\mathbb G})\varphi(x')=\varphi(e_{\mathbb G}x')=\varphi(x')=x$，所以 $\varphi(e_{\mathbb G})$ 是 $H$ 的单位元。
• 逆元：对 $x\in H$，存在 $x'\in\mathbb G$ 满足 $\varphi(x')=x$，则 $x\varphi\!\left((x')^{-1}\right)=\varphi\!\left(x'(x')^{-1}\right)=\varphi(e_{\mathbb G})$，由于 $\varphi(e_{\mathbb G})$ 是 $H$ 的单位元，所以 $\varphi\!\left((x')^{-1}\right)$ 是 $x$ 的逆元。

得证。

群同态基本定理

对群同态 $\varphi:\mathbb G\to\mathbb H$，称 $\varphi$ 的值域为 $\varphi$ 的像，记为 $\varphi(\mathbb G)$；称 $\varphi(x)=e_{\mathbb H}$ 的解集为 $\varphi$ 的核，记为 $\ker \varphi$。跟据群结构在满同态上的传递性，我们立刻知道 $\varphi(\mathbb G)\leq \mathbb H$。

定理：对同态 $\varphi:\mathbb G\to\mathbb H$，有 $\ker\varphi\trianglelefteq \mathbb G$。
证明：先证明 $\ker\varphi\leq\mathbb G$。考虑子群判定定理，对任意 $x,y\in\ker\varphi$，都有 $\varphi\!\left(xy^{-1}\right)=\varphi(x)\varphi\!\left(y^{-1}\right)$，由同态的保逆性得到其 $=\varphi(x)\varphi(y)^{-1}=e_{\mathbb H}e_{\mathbb H}^{-1}=e_{\mathbb H}$，所以 $xy^{-1}\in\ker\varphi$。
再考虑正规子群判定定理。对任意 $x\in\ker\varphi,y\in\mathbb G$，都有 $\varphi\!\left(yxy^{-1}\right)=\varphi(y)\varphi(x)\varphi(y)^{-1}=e_{\mathbb H}$，所以 $yxy^{-1}\in\ker\varphi$，得证。
定理：对同态 $\varphi:\mathbb G\to\mathbb H$，对 $x,y\in\mathbb G$，$x\equiv y\pmod{\ker\varphi}$ 当且仅当 $\varphi(x)=\varphi(y)$。
前推后证明：$x^{-1}y\in\ker\varphi$ 即 $\varphi\!\left(x^{-1}y\right)=e_{\mathbb H}$，即 $\varphi(x)^{-1}\varphi(y)=e_{\mathbb H}$，所以 $\varphi(x)=\varphi(y)$。
后推前证明：把前推后证明反过来即可。

群同态基本定理：对同态 $\varphi:\mathbb G\to\mathbb H$，有 $\mathbb G/\ker\varphi\cong\varphi(\mathbb G)$。
证明：其实上面的两条定理已经铺垫得差不多了。我们知道在 $\ker\varphi$ 的同一个陪集中的元素的映射值相等，不同则不相等，于是我们可以构造同态 $\varphi':\mathbb G/\ker\varphi\to\varphi(\mathbb G)$ 满足对任意 $x\in\mathbb G$ 有 $\varphi'(x\ker\varphi)=\varphi(x)$，单射性和满射性都显然。
推论：对存在满同态的两个有限群 $\mathbb G\to\mathbb H$，必有 $|\mathbb H|\mid|\mathbb G|$。

那么显然，对于 $\mathbb H\trianglelefteq\mathbb G$，$\varphi(x)=x\mathbb H$ 是 $\mathbb G\to \mathbb G/\mathbb H$ 的满同态，我们称这种原群到商群的同态为自然同态。对自然同态有 $\ker\varphi=\mathbb H$。

自同构、中心

本章的最后，我们来看一点轻松的东西。（？）

对于一个群 $\mathbb G$，其到自身的同构 $\varphi:\mathbb G\to\mathbb G$ 称为其自同构。易证 $\mathbb G$ 的所有自同构配合映射成群，称为其自同构群，记为 $\operatorname{Aut}\mathbb G$。其单位元称作恒等自同构。

定义：群 $\mathbb G$ 中的元素 $x$ 关于元素 $g$ 的共轭为 $gxg^{-1}$，子群 $\mathbb H$ 关于 $g$ 的共轭为 $g\mathbb Hg^{-1}$。对于子集 $S\subseteq\mathbb G$，我们称 $S$ 在 $\mathbb G$ 中的中心化子 $\mathrm C_{\mathbb G}(S)$（在仅讨论一个群时可以简写为 $\mathrm C(S)$）为所有满足 $\forall g\in S,xg=gx$（即与 $S$ 中所有元素成立交换律，或关于 $S$ 中所有元素的共轭等于自身）的 $x$ 的集合。特殊地，元素 $g$ 的中心化子 $\mathrm C_{\mathbb G}(g)$ 为 $\mathrm C_{\mathbb G}(\{g\})$，群 $\mathbb G$ 的中心 $\mathrm C(\mathbb G)$ 为 $\mathrm C_{\mathbb G}(\mathbb G)$。
定理：对 $S\subseteq\mathbb G$，有 $\mathrm C(S)\leq\mathbb G$。
证明：对 $x,y\in\mathrm C(S)$，对所有 $g\in S$ 都有 $xg=gx$，$yg=gy\Rightarrow gy^{-1}=y^{-1}g$，所以 $\left(xy^{-1}\right)g=xy^{-1}g=xgy^{-1}=gxy^{-1}=g\!\left(xy^{-1}\right)$，所以 $xy^{-1}\in\mathrm C(S)$，跟据子群判定定理得证。
定理：$\mathrm C(\mathbb G)\trianglelefteq\mathbb G$。这个证明就比较简单了，由于 $\mathrm C(\mathbb G)$ 跟 $\mathbb G$ 中一切元素 $x$ 可交换，即 $x\mathrm C(\mathbb G)=\mathrm C(\mathbb G)x$，直接就证毕了，应该没有人不同意吧？

定义：对于群 $\mathbb G$，取 $g\in\mathbb G$，易证 $\mathbb G\to\mathbb G$ 的映射 $\varphi(x)=gxg^{-1}$ 是一个自同构，称其为 $\mathbb G$ 上关于 $g$ 的内自同构（亦称共轭自同构），记为 $\tau_g$。
考虑内自同构 $\tau_g,\tau_h$，有 $(\tau_g\circ\tau_h)(x)=ghxh^{-1}g^{-1}=\tau_{gh}(x)$，所以内自同构配合复合是封闭的。使用类似思路容易验证 $\tau_e$ 为恒等自同构，$\tau_g^{-1}=\tau_{g^{-1}}$，所以所有内自同构成群，称为 $\mathbb G$ 的内自同构群，记为 $\operatorname{Inn} \mathbb G$。显然 $\operatorname{Inn}\mathbb G\leq\operatorname{Aut}\mathbb G$。
定理：对群 $\mathbb G$，有 $\operatorname{Inn}\mathbb G\trianglelefteq\operatorname{Aut}\mathbb G$。
证明：对任意 $\varphi\in\operatorname{Aut}\mathbb G,\tau_g\in\operatorname{Inn}\mathbb G$，有 $(\varphi\circ\tau_g\circ\varphi^{-1})(x)=\varphi\!\left(g\varphi^{-1}(x)g^{-1}\right)=\varphi(g)x\varphi(g)^{-1}=\tau_{\varphi(g)}(x)$，而 $\tau_{\varphi(g)}\in\operatorname{Inn}\mathbb G$，跟据正规子群判定定理得证。

定理：对群 $\mathbb G$，有 $\mathbb G/\mathrm C(\mathbb G)\cong\operatorname{Inn} G$。
证明：构造 $\mathbb G\to\operatorname{Inn}\mathbb G$ 的同态 $\varphi(x)=\tau_x$，其显然是满同态，有 $\varphi(\mathbb G)=\operatorname{Inn}\mathbb G$。接下来我们只要证明 $\mathrm C(\mathbb G)=\ker\varphi$，然后通过群同构基本定理即可得证。即证 $\tau_g$ 是恒等自同构当且仅当 $g$ 对 $\mathbb G$ 内所有元素成立交换律，根据定义这是显然的。

元素的阶

阶

对群 $\mathbb G$ 及其中元素 $a$，定义 $a$ 的阶是最小的满足 $a^n=e$ 的正整数 $n$，记为 $|a|$（注意 $|e|=1$ 而非 $0$）。如果不存在这样的整数 $n$，则 $a$ 的阶不存在。

我们注意到对两个互逆的元素 $a,a^{-1}$，正整数 $n$ 显然要么使 $a^n=a^{-n}=e$，要么同时不。于是 $|a|=\left|a^{-1}\right|$。得到一个有意思的推论：对 $n>2$，阶为 $n$ 的元素定有偶数个（如果有限的话），因为 $a=a^{-1}$ 显然不成立，于是这样的元素是成对出现的。

显然，$a^n$ 的值每 $|a|$ 个一周期，并且每周期内的幂互不相同（否则易证阶可以取更小），即 $n\equiv m\pmod{|a|}$ 当且仅当 $a^n=a^m$。于是 $a^n=e$ 当且仅当 $|a|\mid n$。

定理：对 $k\in\N$，有 $\left|a^k\right|=\dfrac{|a|}{\gcd(k,|a|)}$。
证明：我们知道 $\left(a^k\right)^n=e$ 当且仅当 $\left|a^k\right|\mid n$；而前式即 $a^{kn}=e$，这也当且仅当 $|a|\mid kn$，所以 $\dfrac{|a|}{\gcd(k,|a|)}\mid n$。所以 $\left|a^k\right|\mid n$ 当且仅当 $\dfrac{|a|}{\gcd(k,|a|)}\mid n$，那么显然 $\left|a^k\right|$ 的唯一解就是 $\dfrac{|a|}{\gcd(k,|a|)}$。

定理：对元素 $a,b\in\mathbb G$，如果 $|a|=n,|b|=m$ 满足 $n\perp m$，且 $ab=ba$，则 $|ab|=nm$。
证明：由于 $a,b$ 可交换，所以 $(ab)^k=a^kb^k$。那么 $k=nm$ 显然能满足 $(ab)^k=e$，接下来只要证明它是最小的。如果 $(ab)^k=e$，则 $(ab)^{kn}=e$，而 $a^{kn}=e$，所以 $b^{kn}=e$。那么 $m\mid kn$，而 $n\perp m$，所以 $m\mid k$。同理可证 $n\mid k$，所以 $k=nm$ 确实是最小的。
推论：在阿贝尔群 $\mathbb G$ 中，设阶最大的元素是 $a$，$|a|=n$，则所有元素的阶都是 $n$ 的因数。
证明：考虑反证，假设 $|b|=m<n$ 但是 $m\nmid n$。那么必然存在一个质数 $p$，使得分解质因数结果为 $n=p^Nn',m=p^Mm'$ 且 $N<M$，此时显然 $n'>m'$。我们尝试构造阶为 $p^Mn'$ 的元素，这样自然就与 $n$ 最大矛盾了。注意到 $\left|a^{p^N}\right|=n',\left|b^{m'}\right|=p^M$，而由于 $a,b$ 可交换且 $n'\perp p^M$，由上一条定理得到 $\left|a^{p^N}b^{m'}\right|=p^Mn'$，得证。

生成子群

对群 $\mathbb G$ 及其子集 $S$，定义 $S$ 的生成子群 $\langle S\rangle$。
第一定义：$\langle S\rangle$ 为 $\mathbb G$ 极小的包含 $S$ 的子群（极小者是存在的，因为对任何两个包含 $S$ 的子群，它们的交也包含 $S$，并且也是子群）。
第二定义：$\langle S\rangle=\left\{\prod\limits_{x\in S}x^{c_x}\mid \forall x\in S,c_x\in\Z\right\}$（易证是个子群）。
两种定义的等价性证明：第二定义中的 $\langle S\rangle$ 显然包含 $S$，只要证是极小的就可以了。这也很容易，因为对任意 $c$ 数组，没了 $\prod\limits_{x\in S}x^{c_x}$ 可不行啊，由 $S$ 内的元素显然能组合成它，没了它可就没了封闭性了。得证。

一个元素 $a$ 的生成子群 $\langle a\rangle$ 定义为 $\langle\{a\}\rangle$。易证 $\langle a\rangle$ 的阶就是 $a$ 的阶，如果前者是无限群，则 $a$ 的阶不存在。
对于有限群 $\mathbb G$ 及其元素 $a$，由于 $\langle a\rangle\leq\mathbb G$，根据拉格朗日定理我们得到 $|a|=|\langle a\rangle|\mid |\mathbb G|$，于是定有 $a^{|\mathbb G|}=e$！取 $\mathbb G$ 等于与某大于 $1$ 的整数互质的数的集合，其配合模 $p$ 乘法显然成群，于是得到数论中的欧拉定理的群论证法。

循环群

对一个群 $\mathbb G$，如果存在 $g\in\mathbb G$ 使得 $\langle g\rangle=\mathbb G$，则称 $\mathbb G$ 为循环群，$g$ 为 $\mathbb G$ 的生成元。显然，对有限群，有 $|g|=|\mathbb G|$。不难发现，在数论中，原根就是对应与 $p$ 互质的数模 $p$ 乘法群的生成元。

循环群结构定理：对循环群 $\mathbb G$，若其是无限群，则有 $\mathbb G\cong\Z$，否则有 $\mathbb G\cong\Z_{|\mathbb G|}$（这也是为什么说循环群是结构最简单的群）。
证明：构造同态 $\varphi(x)=g^x$，对无限群是 $\varphi:\Z\to\mathbb G$，对有限群是 $\varphi:\Z_{\mathbb G}\to\mathbb G$，跟据生成子群的定义易证 $\varphi$ 是同构。
有了这个定理，我们就可以轻松证明循环群的很多与 $\Z$ 或 $\Z_{n}$ 相同的性质，例如是阿贝尔群、子群依然是循环群（易证 $\Z$ 的子群只有 $\Z$ 和 $\Z_n$，$\Z_n$ 的子群只有 $\Z_{d}$ 其中 $d\mid n$）。

循环子群个数定理：无限循环群有无限个子群，有限 $n$ 阶循环群有 $\mathrm d(n)$ 个子群。
证明：跟据「$\Z$ 的子群只有 $\Z$ 和 $\Z_n$，$\Z_n$ 的子群只有 $\Z_{d}$ 其中 $d\mid n$」这句话，这是显然的。

循环群生成元定理：无限循环群仅有两个生成元，分别是同构于 $\Z$ 中 $-1,1$ 的元；有限 $n$ 阶循环群有 $\varphi(n)$ 个生成元。
证明：无限群不证。对于有限群 $\mathbb G$，它同构于 $\Z_n$，而对 $g\in[0,n)$，其对所有 $a\in[0,n)$ 都满足 $gx\equiv a\pmod n$ 有解，当且仅当 $g\perp n$，所以 $\mathbb G$ 的生成元就是同构于 $\Z_n$ 中与 $n$ 互质的数的元。
在数论中，我们也可以通过该定理得到有原根的模 $p$ 乘法群共有 $\varphi(\varphi(p))$ 个原根（因为群只包含与 $p$ 互质的数，导致群的阶为 $\varphi(p)$）。

挠群

一些小小的定义，没什么定理。

定义：所有元素的阶都有限的群称为挠群（或周期群）。
有限群周期性定理：显然，有限群必定是挠群。
同时，也存在无限挠群，例如模 $p\in \Q_+$ 意义下有理数加法群。

定义：除单位元外其余元素的阶都无限的群称为无扭群。例如 $\Z$。

定理：非挠群非无扭群的群称为混合群。例如模 $p\in \Q_+$ 意义下实数加法群。

置换群、群作用

置换

我们称一个集合 $S$ 到自身的映射 $f$ 为 $S$ 上的变换，如果 $S$ 是有限集合的并且 $f$ 是双射，则称 $f$ 是 $S$ 上的置换。设 $S=\{s_{1\sim n}\}$，则一个置换记为 $\begin{pmatrix}s_1&s_2&\cdots&s_n\\f(s_1)&f(s_2)&\cdots&f(s_n)\end{pmatrix}$（显然，这个矩阵的列的顺序随意）。如果某元素满足 $s_i=f(s_i)$，则称 $s_i$ 是置换 $f$ 的一个不动元素，在写该置换的两行矩阵时可以去掉 $s_i$ 所在列省略不写。

一个置换 $f$ 的逆置换 $f^{-1}$ 显然为将它的矩阵上下两行颠倒过来得到的置换，恒等置换为 $e=\begin{pmatrix}\,\\\,\end{pmatrix}$。那么显然，有限集合 $S$ 上的全体置换关于复合 $\circ$ 成群，称为 $S$ 上的对称群 $\mathrm S(S)$，其任意子群称为 $S$ 上的置换群。显然有 $|\mathrm S(S)|=|S|!$。若 $|S|=n$，称 $S$ 上的对称群为 $n$ 次对称群，置换群为 $n$ 次置换群。所有 $n$ 次对称群显然两两同构，记为 $\mathbb S_n$，代表任意 $n$ 次对称群。

置换的子系统

可能是排列的图论表示（置换环？）的一套成系统证明吧。

对 $S$ 上的一个置换 $f$ 以及 $S$ 的一个子集 $T$，记 $f[T](x)=\begin{cases}f(x)&x\in T\\x&x\in S-T\end{cases}$，如果它是个置换，则称为 $f$ 的一个子置换，$T$ 为其保留范围。每个置换 $f$ 都有两个平凡子置换 $f[S]=f$ 和 $f[\varnothing]=e$（注意，若 $T$ 不为 $S$ 或 $\varnothing$，但 $f[T]$ 却等于这两者中的一个，则 $f[T]$ 也是平凡子置换）。

轮换的第一定义：置换 $\begin{pmatrix}a_1&a_2&\cdots&a_k\\a_2&a_3&\cdots&a_1\end{pmatrix}$ 称为一个轮换，可以简记为 $\begin{pmatrix}a_1&a_2&\cdots&a_k\end{pmatrix}$，它是一个 $k$ - 轮换。
轮换的第二定义：仅有平凡子置换的置换称为一个轮换。
两种定义等价性证明：一推二显然，现在证二推一。考虑找到一个非不动元素 $x\in S$（如果找不到，说明 $f=e$，显然不是反例），令 $u$ 为满足 $f^u(x)=x$ 的最小正整数，显然 $u>1$。考虑子集 $T=\left\{f^i(x)\right\}_{i=0}^{u-1}$，如果 $f[T]=f$，则 $f$ 显然是第一定义中的轮换，否则 $f[T]$ 是个非平凡子置换。得证。
显然，$e$ 是 $1$ - 轮换，若不是 $e$ 则集合 $\{a_{1\sim k}\}$ 唯一。

不相交子置换的乘法交换律：对 $S$ 上的置换 $f$ 以及 $T,U\subseteq S$，若 $T\cap U=\varnothing$ 且 $f[T],f[U]$ 都是子置换，则 $f[T]f[U]=f[U]f[T]=f[T\cup U]$。证明比较显然，又一次遇到了「由独立性得交换律」的例子。

对 $S$ 的一个划分 $\{T_{1\sim t}\}$，若 $f[T_i]$ 都是子置换，则显然 $\prod\limits_{i=1}^tf[T_i]=f$；记 $T^*$ 为 $T$ 中剔除掉 $f[U]=e$ 的 $U$ 后的子集集合，则积依然等于 $f$ 。若 $f[T^*_i]$ 都是轮换（显然都是 $k$ - 轮换，其中 $k>1$），则称 $T^*$ 是 $f$ 的一个分解。分解总是存在的：初始时令 $T=\{S\}$，任意时刻检查当前 $T$ 是否全是轮换，如果全是则此时 $T^*$ 为一个分解，否则把某个不是轮换的拆成两个非平凡子置换的积并重复上述过程，总能在有限步内停止。
唯一分解定理：$S$ 上的任意置换 $f$ 的分解总是唯一的。
证明：若否，设有两个不同的分解 $T,U$，显然存在 $i,j$ 满足 $T_i\neq U_j$ 且 $A=T_i\cap U_j\neq \varnothing$。则显然存在 $x\in A$ 满足 $f(x)\in T_i-A$（若 $T_i=A$ 则交换 $T_i,U_j$ 的身份），那么 $x\in U_j$ 但 $f(x)\notin U_j$，这样 $f[U_j]$ 就不可能是子置换。

显然，$k$ - 轮换的阶为 $k$。对于非轮换，将它分解，显然每个子集里的「归位」情况都是独立的，所以阶为分解得到的所有轮换的阶的 LCM。

置换的奇偶性

称 $2$ - 轮换为对换。任意轮换都可以表示为若干对换之积，一种方案是 $\begin{pmatrix}a_1&a_2&\cdots&a_k\end{pmatrix}=\prod\limits_{i=k-1}^{1}\begin{pmatrix}a_i&a_{i+1}\end{pmatrix}$（倒过来乘）。而任意置换都可以分解成轮换之积，所以也可以表示成若干对换之积。

定理：对于任意一个置换，把它表示成有限个对换之积，对换的个数的奇偶性总是不变。
证明：随意指定一个 $S$ 上的全序关系 $\prec$，记置换 $f$ 的逆序对数为 $C(f)=\sum\limits_{x\in S}\sum\limits_{y\in S}[x\prec y][f(x)\succ f(y)]$。设一个对换 $g=\begin{pmatrix}a&b\end{pmatrix}$（设 $a\prec b$），则考虑 $\Delta=C(gf)-C(f)$，$\prec a$ 和 $\succ b$ 的都没贡献，$\succ a,\prec b$ 的贡献为 $\pm2$，而 $a,b$ 的总贡献为 $1$，所以 $\Delta$ 是奇数。也就是初始时 $C(e)=0$，每乘上一个对换，逆序对数奇偶性都会改变，所以对换个数奇偶性就等于逆序对数奇偶性。而 $f$ 的逆序对数奇偶性是个常数，得证。
定义：能表示成偶数个对换之积的置换为偶置换，否则为奇置换。显然，置换的奇偶性关于乘法的规律与整数的奇偶性关于加法的规律相同，有 $\text{奇}\times\text{奇}=\text{偶},\text{奇}\times\text{偶}=\text{奇},\text{偶}\times\text{偶}=\text{偶}$（$\text{奇},\text{偶}$ 表示置换而不是整数）。

定理：置换群 $\mathbb G$ 中要么全是偶置换，要么奇偶置换数量相等。
证明：如果有奇置换，随意选出一个奇置换 $f$，显然 $f\mathbb G=\mathbb G$。与此同时原先的所有置换乘上了一个奇置换，奇偶性改变，所以 $\mathbb G$ 中奇偶置换能形成双射，而置换群必定是有限的，所以奇偶置换数量相等。

定义 $n$ 阶交错群（亦称交代群）为 $\mathbb S_n$ 中所有偶置换的集合，易证成群，记为 $\mathbb A_n$，阶为 $\dfrac{n!}2$（$n=1$ 除外，因为 $\mathbb S_1$ 中无奇置换）。

群上的置换

考虑一个有限群 $\mathbb G$ 上的置换群。显然，根据定义，自同构是特殊的置换，所以自同构群是置换群，即 $\operatorname{Aut}\mathbb G\leq\mathrm S(\mathbb G)$。

此处讨论三类常见的群置换：

1. $f_a(x)=axa^{-1}$，这是一个 $\mathbb G$ 的内自同构，所有内自同构成群，为内自同构群 $\operatorname{Inn}\mathbb G$。
2. $f_a(x)=ax$，这并不是自同构（因为不保幺），但显然是置换，称为 $\mathbb G$ 关于 $a$ 的左平移置换。我们发现 $(f_a\circ f_b)(x)=abx=f_{ab}(x)$，所以所有左平移置换成群并且同构于 $\mathbb G$！由此我们得到重要的 Cayley 定理：任意有限群 $\mathbb G$ 都同构于 $\mathbb G$ 上的一个置换群。这表明任意一个有限群都同构于至少一个置换群，那么某些与置换本身无关，而与群结构有关的置换群的性质，对任意有限群也适用。
3. $f_a(x)=xa$，称为 $\mathbb G$ 关于 $a$ 的右平移置换。所有右平移置换也成群，同构于将 $\mathbb G$ 中的运算反过来执行得到的新群。但转念一想，这个新群其实也同构与 $\mathbb G$，同构映射只需要配对逆元即可，利用的是 $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$。

群作用

第一定义：对有限群 $\mathbb G$ 和有限集合 $S$，如果存在映射 $T:\mathbb G\times S\to S$，满足 $T(a,T(b,x))=T(ab,x)$，且 $T(e,x)=x$，则称 $T$ 为 $\mathbb G$ 对 $S$ 的一个作用。
第二定义：对有限群 $\mathbb G$ 和有限集合 $S$，如果存在 $\mathbb G$ 到 $\mathrm S(S)$ 的同态 $\varphi$，则称 $\varphi$ 为 $\mathbb G$ 对 $S$ 的一个作用。
两种定义的等价性：二推一显然，对应关系为 $T(a,x)=\varphi(a)(x)$。下面证一推二，只要证 $f_a(x)=T(a,x)$ 的 $f_a$ 是个 $S$ 上的置换。这只要证 $f_a(x)$ 对所有 $x\in S$ 互异。假设存在 $x\neq y$ 但 $f_a(x)=f_a(y)$，则 $f_{a^{-1}}(f_a(x))=f_{a^{-1}}(f_a(y))$，即 $f_e(x)=f_e(y)$，即 $x=y$，矛盾。此时显然有 $f_a\circ f_b=f_{ab}$，易证 $\{f_a\mid a\in\mathbb G\}$ 成置换群，$\varphi(a)=f_a$ 是一个同态。
综合一下两种定义的表示，在不产生歧义的情况下，第一定义下 $T(a,x)$ 和第二定义下 $\varphi(a)(x)$ 可以记为 $ax$。

如果第二定义下的 $\varphi$ 是个单同态，则此时显然 $\mathbb G$ 同构于 $S$ 上的某个置换群，称该作用为忠实作用。任意 $S$ 上的置换群都直接作用在 $S$ 上，反过来，任意 $S$ 上的忠实作用也直接对应于 $S$ 上的某个置换群。不严格地说，群作用与置换群（亦即忠实作用）的区别就在于前者中不同的群元素可能诱导相同的置换，而这在后者中不可能发生。

令 $S=\mathbb G$，考虑内自同构、左平移置换、右平移置换。对于前两者，易证 $\varphi(a)=f_a$ 的 $\varphi$ 是个 $\mathbb G$ 到自身的作用，分别成为共轭作用、左平移作用；而右平移并不是作用。其中左平移作用是忠实作用。

轨道、稳定子

设有限群 $\mathbb G$ 作用于有限集合 $S$ 上，定义 $S$ 中的元素 $x$ 在群 $\mathbb G$ 作用下的轨道为子集 $\{ax\mid a\in\mathbb G\}$，记为 $\mathrm O(x)$。

定理：不同的轨道无交。
证明：设 $x,y\in S$ 满足 $\mathrm O(x)\neq\mathrm O(y)$ 但 $\mathrm O(x)\cap\mathrm O(y)\neq\varnothing$。找到 $z\in\mathrm O(x)\cap\mathrm O(y)$，那么显然能找到 $a,b\in\mathbb G$ 使 $ax=by=z$。则 $y=b^{-1}ax$，所以 $y\in\mathrm O(x)$，那么显然有 $\mathrm O(y)\subseteq\mathrm O(x)$。反过来，同理可得 $\mathrm O(x)\subseteq\mathrm O(y)$，于是 $\mathrm O(x)=\mathrm O(y)$，与前提矛盾，得证。

而所有轨道的并显然是全集 $S$，因对 $x\in S$ 有 $ex=x\in\mathrm O(x)$。所以我们知道所有轨道形成 $S$ 的一个划分。我们称仅有一个轨道（那么该轨道显然为 $S$）的群作用是传递的。对任意群作用，可以把 $S$ 按轨道划分拆成 $\{S_i\}$，那么 $\mathbb G$ 对 $S_i$ 的作用都是传递的，且这样拆并不影响任何事情，因为不同轨道内的元素显然是独立的。所以有时可把一个作用拆成若干个传递的作用研究，但我们此处并不这样做。

定义 $S$ 中的元素 $x$ 在群 $\mathbb G$ 作用下的稳定子为 $\{a\in\mathbb G\mid ax=x\}$，记为 $\mathrm{Stab}(x)$。稳定子内显然关于乘法满足封闭性，跟据有限子群判定定理，立刻可知 $\mathrm{Stab}(x)\leq\mathbb G$。显然，$\bigcap\limits_{x\in S}\operatorname{Stab}(x)=\ker\varphi$，其中 $\varphi$ 是表示群作用的 $\mathbb G\to\mathrm S(S)$ 的同态。

考察 $\mathrm{Stab}(x)$ 的所有左陪集，我们发现所有左陪集与 $\mathrm O(x)$ 可以形成双射 $a\operatorname{Stab}(x)\mapsto ax$。
证明：考虑 $a,b\in\mathbb G$，$ax=bx$ 即 $b^{-1}ax=x$ 即 $b^{-1}a\in\mathrm{Stab}(x)$ 即 $a\operatorname{Stab}(x)=b\operatorname{Stab}(x)$。也就是说，群 $\mathbb G$ 内两个元素作用 $x$ 的结果相同当且仅当它们模 $\mathrm{Stab}(x)$ 同余。那么就不证自证了。
那么我们知道，对 $\mathrm O(x)$ 内的每个 $y$，都有恰好 $\mathrm{Stab}(x)$ 个 $\mathbb G$ 中的元素作用上 $x$ 得到 $y$，并且对 $\mathrm O(x)$ 内每个 $y$ 都枚举一遍这样的元素的话，恰好能不重不漏的枚举 $\mathbb G$。这就得到一个重要推论——轨道稳定子定理：$|\mathbb G|=|\mathrm O(x)||\mathrm{Stab}(x)|$。

两个计数定理

久 等 了！铺垫了这么多，终于迎来真正的 OI 相关环节！

Burnside 引理

设有限群 $\mathbb G$ 作用于有限集合 $S$，定义 $a\in\mathbb G$ 的不动元素集为 $\{x\in S\mid ax=x\}$，记为 $\mathrm F(a)$。

设 $n$ 为 $S$ 上的轨道种类数，我们现在想求出 $n$。观察到：如果每个 $x\in S$ 都贡献 $|\mathrm{Stab}(x)|$ 的话，跟据轨道稳定子定理，这就是 $\dfrac{|\mathbb G|}{|\mathrm O(x)|}$。那么每个轨道的总贡献都恰好是 $|\mathbb G|$，只要用所有轨道的总贡献除以 $|\mathbb G|$ 就可以得到 $n$ 了。而 $|\mathrm{Stab}(x)|$ 通常是难求的，我们又注意到「不动的 $(a,x)$ 有序对计数」可以换个贡献体，之前是用 $x$ 贡献的，现在用 $a$ 贡献，显然是 $\sum\limits_{a\in\mathbb G}|\mathrm F(a)|$。于是我们得到 Burnside 引理的公式：

$$n=\dfrac{\sum\limits_{a\in\mathbb G}|\mathrm F(a)|}{|\mathbb G|}$$

在组合计数中的应用：我们往往要对某种「等价类」计数。此时我们可以把等价（即同构）的条件用群作用的形式写出来（即：经过什么作用之后可以得到相同的状态则称为等价），然后问题遍转化为求轨道的数量，套用 Burnside 引理往往能简化问题。

例如最经典的序列循环同构问题：两个长度为 $n$ 的序列循环同构当且仅当对前者做若干次 shiftl 可以得到后者。于是初始的想法是 $\mathbb G$ 中仅包含 shiftl。但是这样不成群，我们需要取 shiftl 的生成子群（此处子群是针对序列集合上的对称群而言），也就是 shiftl $0\sim n-1$ 次。这些操作的不动元素集的大小分别有多少个呢？即：考虑给序列上的位置 $i\in[0,n)$ 都连边 $i\to (i+x)\bmod n$（其中 $x$ 是当前考虑的 shiftl 次数），显然构成了 $\gcd(i,n)$ 个相等类，只要保证每个相等类相等再计数即可。

Polya 定理

这是 Burnside 引理的推论，服务于特殊的染色问题。$S$ 中每个元素都是一个包含 $k$ 个有颜色的格子的集合（格子之间有区别），共有 $m$ 种颜色（于是 $|S|=m^k$），设格子集合为 $T$；而 $\mathbb G$ 需要是个 $T$ 上的置换群（当然了，它自然是个 $S$ 上的置换群），表示将这些格子重新排列，如果 $x\in S$ 的格子们重新排列得到 $y\in S$，则 $x,y$ 同构。

此时来考虑 $|\mathrm F(a)|$ 是多少。考虑将 $a\in\mathbb G$ 表示成 $T$ 上的置换的形式，给 $T$ 上所有元素 $i$ 连边 $i\to a(i)$，那么显然每个轮换构成一个相等类。于是有 $|\mathrm F(a)|=m^{c(a)}$，其中 $c(a)$ 表示 $a$ 作为 $T$ 上的置换时的轮换数。公式为：

$$n=\dfrac{\sum\limits_{a\in\mathbb G}m^{c(a)}}{|\mathbb G|}$$