UOJ 435 - Simple Tree
话说这货不去切eJOI在这干啥子呢（
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有一棵大小为\(n\)的树，根为\(1\)，节点\(i\)有一个权值\(a_i\)。支持\(3\)种\(q\)次操作：
- \(\texttt1\ x\ y\ v\)：令所有在路径\(x\to y\)上的点的权值增加\(v\)，保证\(v=\pm1\)；
- \(\texttt2\ x\ y\)：求路径\(x\to y\)上权值\(>0\)的点数；
- \(\texttt3\ x\)：求子树\(x\)内权值\(>0\)的点数。
强制在线。
\(n,q\in\left[1,10^5\right],a_i\in\left[-10^9,10^9\right]\)。
一眼重剖。于是转化为线性结构上的区间修改和区间查询。然后就不会了
看到区间查询排名，想到线段树套平衡树，但是这是区间修改，歇的了。
于是，分块是无所不能的（
注意到一个性质，由于\(v=\pm1\)，所以若\(a_i\leq-q\)或\(a_i\geq q+1\)，则\([a_i>0]\)永远无法改变。所以不妨等效地将\(<-q\)的赋成\(-q\)，将\(>q+1\)的赋成\(q+1\)，此时值域\(\mathrm O(q)\)。
考虑将线性结构\(a\)分成\(sz1\)块，每块\(i\)内维护后缀计数\(cnT_i\)，\(cnT_{i,j}\)表示块\(i\)内\(\geq j\)的数的个数。再维护一个整体增加标记\(add_i\)，表示该块被整体增加过多少。
-
区间修改：对于两边不满的块，暴力修改，每个数\(\pm1\)的话\(cnT\)是可以\(\mathrm O(1)\)更新的（当然你重构我也不拦你）。对于中间的整块们，直接修改它们的整体增加标记。\(\mathrm O\!\left(sz1+\dfrac n{sz1}\right)\)。
-
区间查询：对于两边不满的块，暴力计数，注意每个数真正的值是它在\(a\)数组中的值加上所在块的整体增加标记。对于中间的整块\(i\)们，调用后缀计数，将\(cnT_{i,1-add_i}\)累加进结果即可。最终答案为两种结果加起来。\(\mathrm O\!\left(sz1+\dfrac n{sz1}\right)\)。
此时令\(sz1=\left\lfloor\sqrt n\right\rfloor\)，加上重剖的\(\log\)即可\(\mathrm O\!\left(q\sqrt n\log n\right)\)完美滚粗。当然往死里卡还是能卡过去的，我才不会告诉你我曾经就卡过去了呢（
接下来用出题人智商分析法。如果仅限于此，那么这题不就成了强行上树了？怎么还能成为集训队作业2018呢？所以这个重剖肯定有深藏不露之处。
事实上：无论是对于区间修改还是区间查询，对整块处理的时间复杂度显然是整块的个数\(\mathrm O\!\left(\dfrac n{sz1}\right)\)。一次分块维护\(\mathrm O\!\left(\dfrac n{sz1}\right)\)，那么一条链是不是就需要\(\mathrm O\!\left(\dfrac n{sz1}\log n\right)\)了呢？不，不是。因为重剖出来的区间们不会有交集，那么总的整块的个数依然是\(\mathrm O\!\left(\dfrac n{sz1}\right)\)级别的。于是一条链的复杂度就是\(\mathrm O\!\left(sz1\cdot\log n+\dfrac n{sz1}\right)\)。注意到两项乘积依然为常数，令\(sz1\cdot\log n=\dfrac n{sz1}\)解得\(sz1=\sqrt{\dfrac n{\log n}}\)（令\(sz1=\left\lfloor\sqrt{\dfrac n{\log_2n}}\right\rfloor\)），此时总时间复杂度为\(\mathrm O\!\left(q\sqrt{n\log n}\right)\)。
然鹅这样空间复杂度为\(\mathrm O\!\left(q\sqrt{n\log n}\right)\)，虽然ML很大但还是超过了一倍。注意到\(cnT\)的值们不会很大，用short存可以说完美，不多不少刚刚好。
常数还是有点大，不过开个O3就AC了。
代码：
#pragma GCC optimize(3)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define pb push_back
const int N=100000,QU=100000,DB_SZ=1300;
int n,qu;
bool ol;
vector<int> nei[N+1];
int fa[N+1],sz[N+1],wson[N+1],dep[N+1],top[N+1],dfn[N+1],nowdfn,mxdfn[N+1];
void dfs1(int x=1){//重剖预处理，下同
sz[x]=1;
for(int i=0;i<nei[x].size();i++){
int y=nei[x][i];
if(y==fa[x])continue;
fa[y]=x;
dep[y]=dep[x]+1;
dfs1(y);
sz[x]+=sz[y];
if(sz[y]>sz[wson[x]])wson[x]=y;
}
}
void dfs2(int x=1,int t=1){
dfn[x]=mxdfn[x]=++nowdfn;
top[x]=t;
if(wson[x])dfs2(wson[x],t),mxdfn[x]=mxdfn[wson[x]];
for(int i=0;i<nei[x].size();i++){
int y=nei[x][i];
if(y==fa[x]||y==wson[x])continue;
dfs2(y,y);mxdfn[x]=mxdfn[y];
}
}
int a[N+1];
struct dvdblk{//分块
int sz,sz1;
struct block{int l,r,add;short cnT[2*QU+2];}blk[DB_SZ];
#define l(p) blk[p].l
#define r(p) blk[p].r
#define cnT(p) blk[p].cnT
#define add(p) blk[p].add
void bldblk(int p,int l,int r){//构造一个块
l(p)=l;r(p)=r;
add(p)=0;
for(int i=l;i<=r;i++)cnT(p)[a[i]+qu]++;
for(int i=2*qu;~i;i--)cnT(p)[i]+=cnT(p)[i+1];
}
void init(){//分块初始化
sz1=max(1,min(n,int(sqrt(n/max(1.,log2(n))))));
// printf("sz1=%d\n",sz1);
sz=(n+sz1-1)/sz1;
for(int i=1;i<=sz;i++)bldblk(i,(i-1)*sz1+1,min(n,i*sz1));
}
void _add(int l,int r,int v){//区间修改
int pl=(l+sz1-1)/sz1,pr=(r+sz1-1)/sz1;
if(pl==pr){//不满的块
for(int i=l;i<=r;i++)
if(v==-1){if(a[i]>-qu)cnT(pl)[a[i]-- +qu]--;}
else{if(a[i]<qu+1)cnT(pl)[++a[i]+qu]++;}
return;
}
//整块
for(int i=pl+1;i<pr;i++)add(i)+=v;
_add(l,r(pl),v);_add(l(pr),r,v);
}
int grt0(int l,int r){//区间查询
int pl=(l+sz1-1)/sz1,pr=(r+sz1-1)/sz1;
if(pl==pr){//不满的块
int res=0;
for(int i=l;i<=r;i++)res+=a[i]+add(pl)>0;
// cout<<l<<" "<<r<<":"<<res<<"\n";
return res;
}
//整块
int res=0;
for(int i=pl+1;i<pr;i++)res+=cnT(i)[max(-qu,min(qu+1,1-add(i)))+qu];
return res+grt0(l,r(pl))+grt0(l(pr),r);
}
}db;
void add_chn(int x,int y,int v){//链修改
while(top[x]!=top[y]){
if(dep[top[x]]<dep[top[y]])swap(x,y);
db._add(dfn[top[x]],dfn[x],v);
x=fa[top[x]];
}
if(dep[x]<dep[y])swap(x,y);
db._add(dfn[y],dfn[x],v);
}
int grt0_chn(int x,int y){//链查询
int res=0;
while(top[x]!=top[y]){
if(dep[top[x]]<dep[top[y]])swap(x,y);
res+=db.grt0(dfn[top[x]],dfn[x]);
x=fa[top[x]];
}
if(dep[x]<dep[y])swap(x,y);
return res+db.grt0(dfn[y],dfn[x]);
}
int grt0_subt(int x){return db.grt0(dfn[x],mxdfn[x]);}//子树查询
int main(){
// cout<<sizeof(db)/1024/1024;
cin>>n>>qu>>ol;
for(int i=1;i<n;i++){
int x,y;
scanf("%d%d",&x,&y);
nei[x].pb(y);nei[y].pb(x);
}
dfs1();dfs2();//重剖
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%d",a+dfn[i]);
a[dfn[i]]=max(-qu,min(qu+1,a[dfn[i]]));//限制值域
}
db.init();//分块初始化
int lasans=0;
for(int i=1;i<=qu;i++){
int tp,x,y,z;
scanf("%d%d",&tp,&x);ol&&(x^=lasans);
if(tp==1)scanf("%d%d",&y,&z),ol&&(y^=lasans),add_chn(x,y,z);
else if(tp==2)scanf("%d",&y),ol&&(y^=lasans),printf("%d\n",lasans=grt0_chn(x,y));
else printf("%d\n",lasans=grt0_subt(x));
}
return 0;
}
