洛谷 P4679 - 道馆之战

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有一棵树\(T=(V,E),|V|=n,|E|=n-1\)。节点\(i\)有\(2\)个房间，每个房间是薄冰或障碍物，分别用\(a_{i,1},a_{i,2}\)表示（\(\texttt.\)表示薄冰，\(\texttt#\)表示障碍物）。你需要支持以下\(2\)种\(q\)次操作：

  1. \(\texttt C\ x\ y\)：\(y\)是一个长度为\(2\)的字符串，表示将节点\(x\)的房间改成\(y\)；
  2. \(\texttt Q\ x\ y\)：查询从节点\(x\)往节点\(y\)走最多能踏过多少个薄冰。可以从节点\(x\)的任意房间出发。每次可以移到同节点的另一房间或往\(y\)方向的下一个节点的同一房间。障碍物不能走。走过的房间不能走。最终不必到达\(y\)。

\(n\in\left[1,5\times10^4\right],q\in\left[1,10^5\right]\)。

一眼的重剖。

先来考虑若出在线性结构上该怎么做。单点修改，区间查询，BIT又太逊，考虑线段树。每个节点维护一大堆东西，然后一脸区间可合并的样子。对于每个线段树节点\(i\)，设表示\([l_i,r_i]\)，那么最终要求的“最多能踏过多少个薄冰”显然是必须要记录的，设为\(mx_i\)。又由于区间没有方向，但是操作\(\texttt Q\)中的\(x,y\)左右关系不确定，所以要记录从左往右、从右往左\(2\)种方向上的答案\(mxl_i,mxr_i\)。

接下来考虑合并。以从左往右为例。\([l_i,r_i]\)的答案显然分为\(2\)种情况：轨迹在\([l_i,r_{lson_i}]\)内和跨越它。情况\(1\)显然是\(mxl_{lson_i}\)就够了的。情况\(2\)则需要前提条件——\([l_i,r_{lson_i}]\)能够走通。于是需要再维护一个\(can_i\)（这个\(2\)种方向是可以互用的）。又由于在\(r_{lson_i},l_{rson_i}\)处的接口成功性与连接的房间（\(1\)还是\(2\)）有关，所以我们每个记录的东西都要分起点终点四种情况（即\(mxl_{i,0/1,0/1},mxr_{i,0/1,0/1},can_{i,0/1,0/1}\)）。此时可合并性已经很显然了。

由于这个线段树节点合并的方法有点复杂，记录的\(12\)个量互相依存，于是查询函数之类直接返回节点结构体。

现在来考虑树上的情况。考虑重剖，由于这个线段树节点是分方向的，于是不能像普通算和、\(\min/\max\)之类直接将一个个剖出来的重链的结果累计到路径的总结果中，需要维护\(x\to\mathrm{LCA}(x,y),y\to\mathrm{LCA}(x,y)\)这\(2\)条直链的总结果（都是线段树节点结构体）。最终将这\(2\)条直链的总结果合并时，要注意将\(x\to\mathrm{LCA}(x,y)\)的总结果方向翻转（因为根据重剖的性质，方向是从上往下的，而我们从\(x\)往\(\mathrm{LCA}(x,y)\)走，理应是从下往上的）。

线性结构上的线段树复杂度单\(\log\)，加了个重剖变成\(\mathrm O\!\left(q\log^2n\right)\)。

对了有个要注意的地方，就是线段树空节点与非空节点合并时要特判，不然会WA到自闭，已加入sb错误列表（第\(2\)条）（

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define pb push_back
const int N=50000;
int n,qu;
vector<int> nei[N+1];//邻接表 
char a[N+1][5];//房间情况 
int fa[N+1],dep[N+1],sz[N+1],wson[N+1],top[N+1],dfn[N+1],nowdfn,mng[N+1];//重剖 
void dfs1(int x=1){//重剖 
	sz[x]=1;
	for(int i=0;i<nei[x].size();i++){
		int y=nei[x][i];
		if(y==fa[x])continue;
		fa[y]=x;
		dep[y]=dep[x]+1;
		dfs1(y);
		sz[x]+=sz[y];
		if(sz[y]>sz[wson[x]])wson[x]=y;
	}
}
void dfs2(int x=1,int t=1){//重剖 
	mng[dfn[x]=++nowdfn]=x;
	top[x]=t;
	if(wson[x])dfs2(wson[x],t);
	for(int i=0;i<nei[x].size();i++){
		int y=nei[x][i];
		if(y!=fa[x]&&y!=wson[x])dfs2(y,y);
	}
}
struct segtree{//线段树 
	struct node{//节点 
		int l,r,mxl[2][2],mxr[2][2];bool can[2][2];
		node(){l=0;}//空节点的标志 
		node rev(){//方向翻转 
			node res=*this;
			swap(res.mxl[0][0],res.mxr[0][0]);
			swap(res.mxl[0][1],res.mxr[0][1]);
			swap(res.mxl[1][0],res.mxr[1][0]);
			swap(res.mxl[1][1],res.mxr[1][1]);
			swap(res.can[0][1],res.can[1][0]);
			return res;
		}
		void prt(){//调试用 
			printf("nd[%d,%d]=\n",l,r);
			printf("\tmxl[0][0]=%d mxl[0][1]=%d mxl[1][0]=%d mxl[1][1]=%d\n",mxl[0][0],mxl[0][1],mxl[1][0],mxl[1][1]);
			printf("\tmxr[0][0]=%d mxr[0][1]=%d mxr[1][0]=%d mxr[1][1]=%d\n",mxr[0][0],mxr[0][1],mxr[1][0],mxr[1][1]);
			printf("\tcan[0][0]=%d can[0][1]=%d can[1][0]=%d can[1][1]=%d\n",can[0][0],can[0][1],can[1][0],can[1][1]);
		}
	}nd[N<<2];
	#define l(p) nd[p].l
	#define r(p) nd[p].r
	#define mxl(p) nd[p].mxl
	#define mxr(p) nd[p].mxr
	#define can(p) nd[p].can
	void sprup(node &p,node lson,node rson){//上传（即合并） 
		if(!lson.l)return p=rson,void();
		if(!rson.l)return p=lson,void();
		p.l=lson.l;p.r=rson.r;
		p.mxl[0][0]=max(lson.mxl[0][0]+lson.can[0][0]*rson.mxl[0][0],lson.mxl[0][1]+lson.can[0][1]*rson.mxl[1][0]);
		p.mxl[0][1]=max(lson.mxl[0][0]+lson.can[0][0]*rson.mxl[0][1],lson.mxl[0][1]+lson.can[0][1]*rson.mxl[1][1]);
		p.mxl[1][0]=max(lson.mxl[1][0]+lson.can[1][0]*rson.mxl[0][0],lson.mxl[1][1]+lson.can[1][1]*rson.mxl[1][0]);
		p.mxl[1][1]=max(lson.mxl[1][0]+lson.can[1][0]*rson.mxl[0][1],lson.mxl[1][1]+lson.can[1][1]*rson.mxl[1][1]);
		p.mxr[0][0]=max(rson.mxr[0][0]+rson.can[0][0]*lson.mxr[0][0],rson.mxr[0][1]+rson.can[1][0]*lson.mxr[1][0]);
		p.mxr[0][1]=max(rson.mxr[0][0]+rson.can[0][0]*lson.mxr[0][1],rson.mxr[0][1]+rson.can[1][0]*lson.mxr[1][1]);
		p.mxr[1][0]=max(rson.mxr[1][0]+rson.can[0][1]*lson.mxr[0][0],rson.mxr[1][1]+rson.can[1][1]*lson.mxr[1][0]);
		p.mxr[1][1]=max(rson.mxr[1][0]+rson.can[0][1]*lson.mxr[0][1],rson.mxr[1][1]+rson.can[1][1]*lson.mxr[1][1]);
		p.can[0][0]=lson.can[0][0]&&rson.can[0][0]||lson.can[0][1]&&rson.can[1][0];
		p.can[0][1]=lson.can[0][0]&&rson.can[0][1]||lson.can[0][1]&&rson.can[1][1];
		p.can[1][0]=lson.can[1][0]&&rson.can[0][0]||lson.can[1][1]&&rson.can[1][0];
		p.can[1][1]=lson.can[1][0]&&rson.can[0][1]||lson.can[1][1]&&rson.can[1][1];
	}
	void sprup(int p){sprup(nd[p],nd[p<<1],nd[p<<1|1]);}//真正的上传 
	void bld(int l=1,int r=n,int p=1){//建树 
		l(p)=l;r(p)=r;
		if(l==r){//区间大小为1时的处理 
			mxl(p)[0][0]=mxr(p)[0][0]=a[mng[l]][0]=='.';
			mxl(p)[0][1]=mxr(p)[0][1]=a[mng[l]][0]=='.'?a[mng[l]][1]=='.'?2:1:0;
			mxl(p)[1][0]=mxr(p)[1][0]=a[mng[l]][1]=='.'?a[mng[l]][0]=='.'?2:1:0;
			mxl(p)[1][1]=mxr(p)[1][1]=a[mng[l]][1]=='.';
			can(p)[0][0]=a[mng[l]][0]=='.';
			can(p)[0][1]=can(p)[1][0]=a[mng[l]][0]=='.'&&a[mng[l]][1]=='.';
			can(p)[1][1]=a[mng[l]][1]=='.';
			return;
		}
		int mid=l+r>>1;
		bld(l,mid,p<<1);bld(mid+1,r,p<<1|1);
		sprup(p);
	}
	void init(){bld();}
	node mx(int l,int r,int p=1){//区间查询 
		if(l<=l(p)&&r>=r(p))return /*nd[p].prt(),*/nd[p];
		int mid=l(p)+r(p)>>1;
		node res;
		if(l<=mid)sprup(res,res,mx(l,r,p<<1));
		if(r>mid)sprup(res,res,mx(l,r,p<<1|1));
//		res.prt();
		return res;
	}
	void chg(int x,char v[],int p=1){//单点修改 
		if(l(p)==r(p)){
			mxl(p)[0][0]=mxr(p)[0][0]=v[0]=='.';
			mxl(p)[0][1]=mxr(p)[0][1]=v[0]=='.'?v[1]=='.'?2:1:0;
			mxl(p)[1][0]=mxr(p)[1][0]=v[1]=='.'?v[0]=='.'?2:1:0;
			mxl(p)[1][1]=mxr(p)[1][1]=v[1]=='.';
			can(p)[0][0]=v[0]=='.';
			can(p)[0][1]=can(p)[1][0]=v[0]=='.'&&v[1]=='.';
			can(p)[1][1]=v[1]=='.';
			return;
		}
		int mid=l(p)+r(p)>>1;
		chg(x,v,p<<1|(x>mid));
		sprup(p);
	}
}segt;
int mx(int x,int y){//树上链查询 
	segtree::node res[2];//2条直链的总结果 
	bool now=0;//当前在合并到哪条直链 
	while(top[x]!=top[y]){
		if(dep[top[x]]<dep[top[y]])now^=1,swap(x,y);//改变当前状态 
		segt.sprup(res[now],segt.mx(dfn[top[x]],dfn[x]),res[now]);//合并当前重链的结果到所在直链的总结果 
		x=fa[top[x]];
	}
	if(dep[x]<dep[y])now^=1,swap(x,y);//改变当前状态 
	segt.sprup(res[now],segt.mx(dfn[y],dfn[x]),res[now]);//合并当前重链的结果到所在直链的总结果
//	res[0].rev().prt();res[1].prt();
	segt.sprup(res[0],res[0].rev()/*左直链要左右翻转*/,res[1]);//2条直链合并 
	return max(max(res[0].mxl[0][0],res[0].mxl[0][1]),max(res[0].mxl[1][0],res[0].mxl[1][1]));//最终答案 
}
int main(){
	cin>>n>>qu;
	for(int i=1;i<n;i++){
		int x,y;
		cin>>x>>y;
		nei[x].pb(y);nei[y].pb(x);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];
	dfs1();dfs2();//重剖 
	segt.init();//线段树初始化 
	while(qu--){
		char tp,z[5];int x,y;
		cin>>tp>>x;
		if(tp=='Q')cin>>y,cout<<mx(x,y)<<"\n";
		else cin>>z,segt.chg(dfn[x],z);
	}
	return 0;
}
```cpp
posted @ 2020-05-28 20:42  ycx060617  阅读(190)  评论(2)  编辑  收藏  举报