CodeForces 1129C Morse Code

洛谷题目页面传送门 & CodeForces题目页面传送门

题意见洛谷里的翻译。

首先我们可以用区间DP算出对于每个子01串，能表示的字母串的个数。

设\(dp_{i,j}\)表示长度为\(i\)，起点为\(j\)（下标从\(1\)开始）的子01串能表示的字母串的个数（也许我设的DP状态有点奇怪）。显然，\(dp_{0,i}=1\)，因为空子01串能且仅能表示空字母串。

那么转移怎么转移呢？可以从串的首部转移，从首部挖出\(1\sim4\)个字符组成字母，累加上剩下的串的DP值。那么状态转移方程为\(dp_{i,j}=\sum\limits_{k=1}^{\min(4,i)}dp_{i-k,j+k}\)，其中\(k=4\)时还要考虑首部\(4\)个字符是否为不能表示字母的那可怜的\(4\)个01串，如果是的话，就不能累加上\(dp_{i-4,j+4}\)。同样的道理，从尾部转移也是可以的。转移的总时间复杂度是\(\mathrm{O}\left(n^2\right)\)，因为一共有\(\mathrm{O}\left(n^2\right)\)个子01串，而每次转移是\(\mathrm{O}(1)\)的。

接下来要算答案了。设到当前第\(i\)次的添加字符后，答案为\(ans\)，那么容易想到，下一次（第\(i+1\)次）添加字符后，增加了\([1,i+1],[2,i+1],\cdots,[i+1,i+1]\)这\(i+1\)个子01串，答案变成了\(ans+\sum\limits_{j=1}^{i+1}dp_{i+1-j+1,j}\)，我们把\(\sum\limits_{j=1}^{i+1}dp_{i+1-j+1,j}\)累加到\(ans\)里。但是，在累加的过程中，可能对于有的\(j\)，\([j,i+1]\)这段子01串和之前累加的有重复，也就是说这段子01串所能表示的所有字母串都被算过了，就不能再把\(dp_{i+1-j+1,j}\)累加上了。所以我们需要判重。

我们可以预处理出前缀哈希数组\(Hsh\)，这样可以在\(\mathrm{O}(1)\)时间内计算出任意一个子串的哈希值。然后怎么判重呢？用一个\(vis\)数组肯定不行，因为哈希值在\(\left[0,2^{64}\right)\)内，会MLE。用裸的set，要判\(\mathrm{O}\left(n^2\right)\)次，每次\(\mathrm{O}\left(\log_2n^2\right)=\mathrm{O}(\log_2n)\)，总共\(\mathrm{O}\left(n^2\log_2n\right)\)；将set按子01串长度分成\(n\)组，也还是\(\mathrm{O}\left(n^2\log_2n\right)\)。这复杂度配上STL的常数，会TLE。

那该怎么办呢？事实上，set的组数其实应该尽可能多，那样每个set的元素个数就尽可能少，复杂度就尽可能小。不妨按哈希值模\(10^7\)的值分为\(10^7\)组。这样分，平均每组只有一两个元素，用set还亏了，直接用链式前向星装即可。

以下是AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 3000
#define hshmod 10000000//将哈希分为的组数
#define mod 1000000007
#define ull unsigned long long
bitset<N+1> a;//01串
int dp[N+1][N+2];//dp[i][j]表示长度为i，起点为j的子01串能表示的字母串数
inline bool ok(bool a,bool b,bool c,bool d){//是否能表示字母
	return !(!a&&!b&&c&&d||!a&&b&&!c&&d||a&&b&&c&&!d||a&&b&&c&&d);//不是那可怜的4个串就OK
}
ull Hsh[N+1]/*前缀哈希值*/,power[N+1]/*power[i]为哈希base（131）的i次方*/;
ull hsh(int l,int r){//[l,r]这段子01串的哈希值
	return Hsh[r]-Hsh[l-1]*power[r-l+1];
}
int head[hshmod],nxt[N*N],tot;ull data[N*N];//链式前向星
void add(int x,ull y){//往第x组里添加哈希值y
	data[++tot]=y;nxt[tot]=head[x];head[x]=tot;
}
int main(){
	int n/*添加字符的次数，即最终01串的长度*/,ans=0/*目前的答案*/,i,j;scanf("%d",&n);
	for(i=1;i<=n;i++){int x;scanf("%d",&x);a[i]=x;}
	power[0]=1;//131^0=1
	for(i=1;i<=n;i++)Hsh[i]=Hsh[i-1]*131ull+a[i]+1,power[i]=power[i-1]*131ull;//预处理
	fill(dp[0]+1,dp[0]+n+2,1);//DP边界：dp[i][0]=1
	for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j+i-1<=n;j++)//状态转移
		dp[i][j]=dp[i-1][j+1],
		dp[i][j]+=i>=2?dp[i-2][j+2]:0,dp[i][j]%=mod,
		dp[i][j]+=i>=3?dp[i-3][j+3]:0,dp[i][j]%=mod,
		dp[i][j]+=i>=4&&ok(a[j],a[j+1],a[j+2],a[j+3])?dp[i-4][j+4]:0,dp[i][j]%=mod;
//	for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j+i-1<=n;j++)
//		printf("dp[%d][%d]=%d\n",i,j,dp[i][j]);
	for(i=1;i<=n;i++){//第i次添加字符
		for(j=1;j<=i;j++){//枚举新增子01串的左端点，右端点是i
			ull h=hsh(j,i);//此新子01串的哈希值
			int hmod=h%hshmod;//它的类别
//			cout<<h<<" "<<hmod<<" "<<dp[i-j+1][j]<<"\n";
			bool mar=false;//是否和之前的某一个串重复
			for(int k=head[hmod];k;k=nxt[k])//枚举此组里的元素
				if(data[k]==h)//有和它的哈希值相同的？
					{mar=true;/*重复*/break;/*不必再找，退出*/}
			if(!mar)//如果无重复，照样累加
				ans+=dp[i-j+1][j],ans%=mod,add(hmod,h)/*扔进链表*/;
		}
		printf("%d\n",ans);//输出目前的答案
//		puts("");
	}
	return 0;
}