21.8.2

T1: hdu4965 - Fast Matrix Calculation

（真的很水！）

\(n\) 很大，\(m\) 很小。不难想到利用结合律降低矩阵连乘复杂度。预处理出 \(BA\) 这个 \(m\times m\) 的矩阵。那么 \((AB)^{n^2}=A(BA)^{n^2-1}B\)，中间那项我用的快速幂，不知道直接算行不行（直接算是 \(\mathrm O\!\left(m^3n^2\right)\) 感觉有点悬）。

\(\bmod 6\) 不知道是干啥的，感觉很迷惑！

T2: P3265 - 装备购买

给 \(n\) 个 \(m\) 维向量，每个向量有一个权值，求最多可以选多少个线性无关向量，以及极大线性无关组的权值和最小是多少。

初等行变换不改变列的线性相关性，这是好的。考虑观察高斯消元之后的向量们，是等价的。

注意到高斯消元天然地选择列号字典序最小的一组基作为主元列。一个猜想是，将列们按照 cost 排序，那么高斯消元选择的是权值和最小的基。这看起来是显然的，实则不显然，因为字典序最小不代表权值和最小，可能出现 \(a_1+a_4>a_2+a_3\) 的情况。考虑证明一下此处字典序最小确实是总权值最小。

观察行等价简化阶梯型的列们，设主元列序号是 \(i_{1\sim s}\)，有 \(\pmb a_{i_j}=\pmb e_j\)，令 \(i_{s+1}=n+1\)，那么将列分为 \(\{[i_j,i_{j+1})\}\) 这些连续段，那么第 \(j\) 段是只有前 \(j\) 行才可能非零。那么前 \(j\) 段组成的向量组的秩显然为 \(j\)，\(j+1\) 行下面全是 \(0\) 了都，于是前 \(j\) 段最多能选出 \(j\) 个线性无关向量，那么选出的第 \(j\) 个的位置肯定不在 \(i_j\) 前面（不然不可能实现在前 \(j-1\) 段这个 \(\mathrm{rank}=j-1\) 的向量组里面选 \(j\) 个线性无关向量），那么正确性就显然了吧（因为每个位置都选了理论最前位置）。

T3: P4463 - calc

由于互不相同，每种值的集合都有 \(n!\) 种排列，不妨强行令它单调（这样 DP 就不用 sb 地状压啦！）最后答案乘以 \(n!\)。

考虑一个显然的 DP：\(dp_{i,j}\) 表示选了 \(i\) 个，值都要在 \([1,j]\) 内的权值和。显然有转移 \(dp_{i,j}=\sum\limits_{k=1}^jkdp_{i-1,k-1}\)。但是 \(j\) 比较大，是 1e9，不能直接做。但是容易发现一个事情：\(dp_{0}\) 是关于 \(j\) 的零次多项式，\(dp_1\) 是二次，那么 \(dp_{i}\) 是关于 \(j\) 的 \(2i\) 次多项式。证明比较容易，归纳的话，转移式里 \(kdp_{i-1,k-1}\) 是关于 \(k\) 的 \(2i-1\) 次多项式，根据等幂和的理论，它的前缀和是 \(2i\) 次多项式。

那么可以拉格朗日插值（虽然我现在还没学多项式，但是也是可以勉强写写的，毕竟不难），先平方递推出 \(dp_n\) 的 \(2n+1\) 项，再根据它们插值出 \(dp_{n,K}\)。这个还是直接求值，多项式系数都不用搞出来的。观察插值公式可知拉格朗日插值在模意义下成立。

T4: P5320 - 勘破神机

太难了不会。计划顺利的话应该是今年年底的时候能会这题。