一个代数小问题

NOI2023 后第一次更博! 在役的时候往博客里堆垃圾, 退役后化身评论区博主, 博客是这么玩的吗? 所以说还是决定以后多往博客里扔点好康的.

前几天与友人聊天时, 突然想要试图说明异或运算的某种 "神圣性". 我们认为, 异或最关键的性质在于 $x \oplus x = 0$ . 这就引出一个问题: 集合 $G$ 上 (或说同一基数的集合上) 满足所有元素的阶都不超过 $2$ 的群在同构意义下唯一吗? 特殊地, 当 $G = \N$ 时就是通常意义下的自然数异或.

首先, 一个较平凡的观察是: 对 $x, y \in G$ , 有 $(xy)^2 = e$ 即 $xy = y^{-1}x^{-1}$ , 再由 $x^2 = y^2 = e$ 可得 $xy = yx$ , 因此 $G$ 是交换群.

我们熟知的例子有: $n$ 位二进制数的异或群, 以及 $\N$ 上的异或群, 除此之外还有某集合 $S$ 的幂集 $2^S$ 上的对称差群. 后两者其实是前者从有限向无限的两种不同的推广: $\N$ 里的元素虽然也可以看成 $\N$ 的子集, 但都是有限子集, 相比之下 $2^S$ 里有包括无限子集在内的所有子集. 那么可以想到, 既然 $\R$ 的有限子集构成的集合与 $2^\N$ 等势, 那么它们上的分别的对称差群是否同构呢? 如果不同构就可以直接否定原问题了.

你想了想, 似乎并不太能构造出同构的样子. ~~这违背了神圣异或教的教义, 你感到汗流浃背了.~~

事实上, 在 OI 中我们常将这样的群看成线性空间. 这样做的道理是什么? 回顾线性空间的定义, 域 $\mathbb{F}$ 上的线性空间指的是一个交换群 $V$ , 并定义了 $\mathbb{F}^{\times}$ 在 $V$ 上的一个群作用 (补充定义 $0v = e$ ), 满足群作用的两种分配律 (对 $V$ 上运算 (写作加法) 和 $\mathbb{F}$ 上加法的分配律). 在我们的讨论中, 选取的域是二元域 $\mathbb{F}_2$ , 群作用定义为 $0x = e$ 和 $1x = x$ , 这样 $G$ 是 $\mathbb{F}_2$ 上的线性空间. 那么是否能对所有交换群这么做呢? 其实不能, 在线性空间的诸多限制中, 群作用对 $\mathbb{F}_2$ 上加法的分配律 (要求对 $a, b \in \mathbb{F}_2$ 和 $x \in G$ 满足 $(a + b)x = ax + bx$ ) 并不是平凡的, 因为取 $a = b = 1$ 可知必须有 $x + x = e$ 成立, 这恰好对应了我们讨论的群的性质.

于是, 我们给 $G$ 配一个二元域, 可以得到一个线性空间. 并且, 容易验证群 $G$ 中的生成与对应线性空间中的 span 是等价的. 熟知任意线性空间都有一组基 (对无限维线性空间, 需要选择公理支持), 也就是说存在 $S \subseteq G$ 使得 $\langle S \rangle = G$ 且 $G$ 中每个元素表示为 $S$ 中有限个元素之和的方式都是唯一的. 那么, 我们有 $G \cong \bigoplus_{x \in S} \{e, x\}$ , 其中 $\oplus$ 是直和. 注意并不是直积 $\prod_{x \in S} \{e, x\}$ , 两者的区别在于 $S$ 是无限集时, 直积允许无限个元素的线性组合, 而直和不允许.

$|S|$ 是有限集的情况其实是平凡的, 显然 $|G|$ 和 $|S|$ 之间有关系 $|G| = 2^{|S|}$ ; 若 $|S|$ 是无限集, 则显然 $|S| \leq |G|$ , 同时 $|G| \leq \sum_{s \geq 0} |S|^s \leq \aleph_0 \times |S| = |S|$ , 所以 $|S| = |G|$ . 总之, 当 $G$ 的基数确定时, 其基的基数也是确定的, 那么对于 $G$ 上的两个这样的群 $G_1, G_2$ , 找到它们的基 $S_1, S_2$ , 可以构造双射 $\varphi\colon G_1 \to G_2$ 将 $S_1$ 打到 $S_2$ , 这样便得到了 $G_1$ 与 $G_2$ 的一个同构. 至此, 我们已经回答了一开始提出的问题: 确实是唯一的.

那么现在的问题是, 该如何解释构造不出 $\R$ 的有限子集集合与 $2^\N$ 这两个对称差群的同构, 或说找不到后者的一组基 (因前者容易找到一组基 $\{\{x\} \mid x \in \R\}$ )? 其实已经很明显了, 就是因为一般的无限维线性空间的基的存在性依赖选择公理, 大部分是并不能明确给出一组基的. 所以, 给这样的群配成线性空间, 对于证明其基 (这里指的是作为交换群时的基) 的存在性来说, 其实几乎是必要的. 因为我们连 $2^\N$ 的基都构造不出, 便几乎必然要借助选择公理了.

另一个关于 $G$ 结构的问题是: 既然 $G$ 总可以写成一些二元群的直和, 那能不能写成一些二元群的直积呢? 对有限群这两者是等价的, 暂且不谈. 对于无限群, 若存在基数 $C$ 使得 $2^C = |G|$ 则可以, 否则不可以. 事实上, 存在一些基数 $|G|$ 是不可以的, 最简单的例如 $\aleph_0$ , 再如某些极限序数导出的基数, 但我不会集合论, 就不过多讨论了.