一个代数小问题
NOI2023 后第一次更博! 在役的时候往博客里堆垃圾, 退役后化身评论区博主, 博客是这么玩的吗? 所以说还是决定以后多往博客里扔点好康的.
前几天与友人聊天时, 突然想要试图说明异或运算的某种 "神圣性". 我们认为, 异或最关键的性质在于 x⊕x=0. 这就引出一个问题: 集合 G 上 (或说同一基数的集合上) 满足所有元素的阶都不超过 2 的群在同构意义下唯一吗? 特殊地, 当 G=N 时就是通常意义下的自然数异或.
首先, 一个较平凡的观察是: 对 x,y∈G, 有 (xy)2=e 即 xy=y−1x−1, 再由 x2=y2=e 可得 xy=yx, 因此 G 是交换群.
我们熟知的例子有: n 位二进制数的异或群, 以及 N 上的异或群, 除此之外还有某集合 S 的幂集 2S 上的对称差群. 后两者其实是前者从有限向无限的两种不同的推广: N 里的元素虽然也可以看成 N 的子集, 但都是有限子集, 相比之下 2S 里有包括无限子集在内的所有子集. 那么可以想到, 既然 R 的有限子集构成的集合与 2N 等势, 那么它们上的分别的对称差群是否同构呢? 如果不同构就可以直接否定原问题了.
你想了想, 似乎并不太能构造出同构的样子. 这违背了神圣异或教的教义, 你感到汗流浃背了.
事实上, 在 OI 中我们常将这样的群看成线性空间. 这样做的道理是什么? 回顾线性空间的定义, 域 F 上的线性空间指的是一个交换群 V, 并定义了 F× 在 V 上的一个群作用 (补充定义 0v=e), 满足群作用的两种分配律 (对 V 上运算 (写作加法) 和 F 上加法的分配律). 在我们的讨论中, 选取的域是二元域 F2, 群作用定义为 0x=e 和 1x=x, 这样 G 是 F2 上的线性空间. 那么是否能对所有交换群这么做呢? 其实不能, 在线性空间的诸多限制中, 群作用对 F2 上加法的分配律 (要求对 a,b∈F2 和 x∈G 满足 (a+b)x=ax+bx) 并不是平凡的, 因为取 a=b=1 可知必须有 x+x=e 成立, 这恰好对应了我们讨论的群的性质.
于是, 我们给 G 配一个二元域, 可以得到一个线性空间. 并且, 容易验证群 G 中的生成与对应线性空间中的 span 是等价的. 熟知任意线性空间都有一组基 (对无限维线性空间, 需要选择公理支持), 也就是说存在 S⊆G 使得 ⟨S⟩=G 且 G 中每个元素表示为 S 中有限个元素之和的方式都是唯一的. 那么, 我们有 G≅⨁x∈S{e,x}, 其中 ⊕ 是直和. 注意并不是直积 ∏x∈S{e,x}, 两者的区别在于 S 是无限集时, 直积允许无限个元素的线性组合, 而直和不允许.
|S| 是有限集的情况其实是平凡的, 显然 |G| 和 |S| 之间有关系 |G|=2|S|; 若 |S| 是无限集, 则显然 |S|≤|G|, 同时 |G|≤∑s≥0|S|s≤ℵ0×|S|=|S|, 所以 |S|=|G|. 总之, 当 G 的基数确定时, 其基的基数也是确定的, 那么对于 G 上的两个这样的群 G1,G2, 找到它们的基 S1,S2, 可以构造双射 φ:G1→G2 将 S1 打到 S2, 这样便得到了 G1 与 G2 的一个同构. 至此, 我们已经回答了一开始提出的问题: 确实是唯一的.
那么现在的问题是, 该如何解释构造不出 R 的有限子集集合与 2N 这两个对称差群的同构, 或说找不到后者的一组基 (因前者容易找到一组基 {{x}∣x∈R})? 其实已经很明显了, 就是因为一般的无限维线性空间的基的存在性依赖选择公理, 大部分是并不能明确给出一组基的. 所以, 给这样的群配成线性空间, 对于证明其基 (这里指的是作为交换群时的基) 的存在性来说, 其实几乎是必要的. 因为我们连 2N 的基都构造不出, 便几乎必然要借助选择公理了.
另一个关于 G 结构的问题是: 既然 G 总可以写成一些二元群的直和, 那能不能写成一些二元群的直积呢? 对有限群这两者是等价的, 暂且不谈. 对于无限群, 若存在基数 C 使得 2C=|G| 则可以, 否则不可以. 事实上, 存在一些基数 |G| 是不可以的, 最简单的例如 ℵ0, 再如某些极限序数导出的基数, 但我不会集合论, 就不过多讨论了.
稍微搜了搜, 以上这些内容都是比较经典的, 我也了解了一些闻所未闻的概念, 比如交换群的基和初等交换群. 我近来在学习上有所懈怠, 但对这个问题的探索使我重燃了对知识的渴望, 因为真切认识到了现在的我几乎什么都不会. 希望以后能时常忆起陈省身先生的 "数学好玩" 四字.
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