一个代数小问题
NOI2023 后第一次更博! 在役的时候往博客里堆垃圾, 退役后化身评论区博主, 博客是这么玩的吗? 所以说还是决定以后多往博客里扔点好康的.
前几天与友人聊天时, 突然想要试图说明异或运算的某种 "神圣性". 我们认为, 异或最关键的性质在于 \(x \oplus x = 0\). 这就引出一个问题: 集合 \(G\) 上 (或说同一基数的集合上) 满足所有元素的阶都不超过 \(2\) 的群在同构意义下唯一吗? 特殊地, 当 \(G = \N\) 时就是通常意义下的自然数异或.
首先, 一个较平凡的观察是: 对 \(x, y \in G\), 有 \((xy)^2 = e\) 即 \(xy = y^{-1}x^{-1}\), 再由 \(x^2 = y^2 = e\) 可得 \(xy = yx\), 因此 \(G\) 是交换群.
我们熟知的例子有: \(n\) 位二进制数的异或群, 以及 \(\N\) 上的异或群, 除此之外还有某集合 \(S\) 的幂集 \(2^S\) 上的对称差群. 后两者其实是前者从有限向无限的两种不同的推广: \(\N\) 里的元素虽然也可以看成 \(\N\) 的子集, 但都是有限子集, 相比之下 \(2^S\) 里有包括无限子集在内的所有子集. 那么可以想到, 既然 \(\R\) 的有限子集构成的集合与 \(2^\N\) 等势, 那么它们上的分别的对称差群是否同构呢? 如果不同构就可以直接否定原问题了.
你想了想, 似乎并不太能构造出同构的样子. 这违背了神圣异或教的教义, 你感到汗流浃背了.
事实上, 在 OI 中我们常将这样的群看成线性空间. 这样做的道理是什么? 回顾线性空间的定义, 域 \(\mathbb{F}\) 上的线性空间指的是一个交换群 \(V\), 并定义了 \(\mathbb{F}^{\times}\) 在 \(V\) 上的一个群作用 (补充定义 \(0v = e\)), 满足群作用的两种分配律 (对 \(V\) 上运算 (写作加法) 和 \(\mathbb{F}\) 上加法的分配律). 在我们的讨论中, 选取的域是二元域 \(\mathbb{F}_2\), 群作用定义为 \(0x = e\) 和 \(1x = x\), 这样 \(G\) 是 \(\mathbb{F}_2\) 上的线性空间. 那么是否能对所有交换群这么做呢? 其实不能, 在线性空间的诸多限制中, 群作用对 \(\mathbb{F}_2\) 上加法的分配律 (要求对 \(a, b \in \mathbb{F}_2\) 和 \(x \in G\) 满足 \((a + b)x = ax + bx\)) 并不是平凡的, 因为取 \(a = b = 1\) 可知必须有 \(x + x = e\) 成立, 这恰好对应了我们讨论的群的性质.
于是, 我们给 \(G\) 配一个二元域, 可以得到一个线性空间. 并且, 容易验证群 \(G\) 中的生成与对应线性空间中的 span 是等价的. 熟知任意线性空间都有一组基 (对无限维线性空间, 需要选择公理支持), 也就是说存在 \(S \subseteq G\) 使得 \(\langle S \rangle = G\) 且 \(G\) 中每个元素表示为 \(S\) 中有限个元素之和的方式都是唯一的. 那么, 我们有 \(G \cong \bigoplus_{x \in S} \{e, x\}\), 其中 \(\oplus\) 是直和. 注意并不是直积 \(\prod_{x \in S} \{e, x\}\), 两者的区别在于 \(S\) 是无限集时, 直积允许无限个元素的线性组合, 而直和不允许.
\(|S|\) 是有限集的情况其实是平凡的, 显然 \(|G|\) 和 \(|S|\) 之间有关系 \(|G| = 2^{|S|}\); 若 \(|S|\) 是无限集, 则显然 \(|S| \leq |G|\), 同时 \(|G| \leq \sum_{s \geq 0} |S|^s \leq \aleph_0 \times |S| = |S|\), 所以 \(|S| = |G|\). 总之, 当 \(G\) 的基数确定时, 其基的基数也是确定的, 那么对于 \(G\) 上的两个这样的群 \(G_1, G_2\), 找到它们的基 \(S_1, S_2\), 可以构造双射 \(\varphi\colon G_1 \to G_2\) 将 \(S_1\) 打到 \(S_2\), 这样便得到了 \(G_1\) 与 \(G_2\) 的一个同构. 至此, 我们已经回答了一开始提出的问题: 确实是唯一的.
那么现在的问题是, 该如何解释构造不出 \(\R\) 的有限子集集合与 \(2^\N\) 这两个对称差群的同构, 或说找不到后者的一组基 (因前者容易找到一组基 \(\{\{x\} \mid x \in \R\}\))? 其实已经很明显了, 就是因为一般的无限维线性空间的基的存在性依赖选择公理, 大部分是并不能明确给出一组基的. 所以, 给这样的群配成线性空间, 对于证明其基 (这里指的是作为交换群时的基) 的存在性来说, 其实几乎是必要的. 因为我们连 \(2^\N\) 的基都构造不出, 便几乎必然要借助选择公理了.
另一个关于 \(G\) 结构的问题是: 既然 \(G\) 总可以写成一些二元群的直和, 那能不能写成一些二元群的直积呢? 对有限群这两者是等价的, 暂且不谈. 对于无限群, 若存在基数 \(C\) 使得 \(2^C = |G|\) 则可以, 否则不可以. 事实上, 存在一些基数 \(|G|\) 是不可以的, 最简单的例如 \(\aleph_0\), 再如某些极限序数导出的基数, 但我不会集合论, 就不过多讨论了.
稍微搜了搜, 以上这些内容都是比较经典的, 我也了解了一些闻所未闻的概念, 比如交换群的基和初等交换群. 我近来在学习上有所懈怠, 但对这个问题的探索使我重燃了对知识的渴望, 因为真切认识到了现在的我几乎什么都不会. 希望以后能时常忆起陈省身先生的 "数学好玩" 四字.
