01 分数规划（water）

（nmd 这么水的货我搞了整整一天？我怕不是 sb 吧。）

01 分数规划这东西就是一堆东西每个有两个属性 \(a_i,b_i\)，然后要求选出一个集合 \(S\)，最小 / 大化 \(\dfrac{\sum\limits_{i\in S}a_i}{\sum\limits_{i\in S}b_i}\)。然后可以搞各种限制，出到各种结构上。

通用的方法是二分答案列出一个不等式，然后把分母乘过去再移过来，然后就好判很多。事实上，二分是一个很有用的东西，尤其是最优化长得很丑的式子，尤其是分式，尤其是分数规划。

prob

P4377 - Talent Show

二分 \(x\)，chk 成功当且仅当存在 \(S\) 使 \(\sum\limits_{i\in S}(t_i-xw_i)\geq0\) 且 \(\sum\limits_{i\in S}w_i\geq w\)。

考虑贪心地先把所有正的 \(t_i-xw_i\) 的 \(i\) 选出来。如果 \(w\) 已经够了就返回，否则继续考虑负的们。那就是要在 \(xw_i-t_i\) 不过分大的情况下最大化 \(w_i\)，这是个背包。但如果把前者作为容量的话，它值域过大，而且是实数。考虑让 \(w_i\) 做容量，求 \(dp_i\) 表示 \(w_i\) 的和恰好为 \(i\) 时的最小的 \(xw_i-t_i\) 和。对 \(w_i\) 一个人就撑满容量的 \(i\)，那就判一下是否能选，能选返回，不能选忽略。然后就直接 DP 就好了，\(dp\) 大小要开到 \(2w\)，因为会出现超过一点的情况，但再大就不可能了，因为留下来的都是 \(w_i\leq w\) 的，一旦超过两倍那么必然可以删掉一个。复杂度是 \(\mathrm O(nw\log)\)。

感觉我的背包写的比较奇怪？可能我对背包这玩意理解的不是太好吧。对了上个 TC 题忘了说了，实数二分也可以直接倍增，就 \(2^{30\sim -30}\) 就好。

P2868 - Sightseeing Cows

首先注意到，对于一个经过一个至少一个点超过一次的环，它的值是按这个点拆开得到的两个环的带权平均减掉一些，肯定不是最优。于是我们只需要找最优比例简单环。

二分 \(x\)，令每条边的权值为 \(a_s-xw\)，其中 \(s\) 是起点，\(w\) 是原边权。那么显然判有没有非负的大小 \(\geq2\) 的环即可。注意到正和非负是等价的，因为是在实数域上，并且可以轻松避开单点的情况。那就 SPFA \(\mathrm O(nm)\)，总 \(\mathrm O(nm\log)\)。

P3199 - 最小圈

看题面花里胡哨的符号还以为是啥呢。跟上一题基本一样，只不过改成最小化，然后边权设 \(w-x\)，跑负环。

但这题数据范围非常卡，普通的 SPFA 只能 50pts，加了 sb 玄学优化 A 掉了。具体是什么优化就不说了（

P3705 - 新生舞会

二分 \(x\)，令边权为 \(a_{i,j}-xb_{i,j}\)，然后跑最优匹配，看看是否有 \(\geq0\) 的匹配即可。

poj2976 - Dropping tests

这个就是最简单的题目了……就二分 \(x\)，然后把 \(a_i-xb_i\) 从大到小排序取前 \(n-m\) 的和看是否非负即可。

btw，poj 我恨你，%lf 不给过 %f 给过什么 sb 毛病。

P4322 - 最佳团体

JSOI 的题！

考虑二分 \(x\)，那么就是看是否有包含 \(0\) 的大小为 \(m+1\) 的连通块的 \(p-xs\) 和为正。

这个有一个很自然的 DP：\(dp_{i,j}\) 表示子树 \(i\) 内选 \(j\) 个的最大和。然后对于每个点扫描一下儿子，对每个儿子用类似卷积和背包的方式更新一下 DP 数组。这玩意被某沙雕称为「树的卷积」，和 SAO 那题一样，复杂度是平方的。

去年某天晚上绞劲脑汁，最终终于归纳证出来了这玩意的复杂度。现在一看，这 tm 不随便证？第二眼，哦，假了。只是不知道为啥所有人 & 题解都认为这个平方复杂度非常自然？希望神仙们在评论区解释一下。

那么总复杂度就是平方对数。

poj2728 - Desert King

poj 我永远问候你全家。

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最优比例生成树。

二分 \(x\)，那么显然就是判断是否有以 \(cst_{i,j}-x\cdot dis_{i,j}\) 为边权的负权生成树。那么求最小生成树就可以了。

这张图是个完全图，所以 Prim 比 Kruskal 快，是平方的，总的就是平方对数。要控制好常数，一不小心就会 T。

P3288 - 方伯伯运椰子

又是一个 fbb/cy，fbb 我尊敬你（真的尊敬）。

首先考虑二分答案 \(x\)，得到 \(X-Y-xk>0\)。不妨把调整的集合看成一个新的可行流叠加进原来的流。显然对原来的每条边，体现到网络流里是，反着流就是压缩，有对应的上限，而正着流就是扩容，无上限，对应的费用显然很好计算。特殊地，与源连的那条边不能调整。然后 \(-xk\) 这东西恰好也可以搞到费用上去，就给每条边增加个 \(-x\) 的费用，表示调整单位流量需要 \(-x\) 的费用。

然后就应该跑最小费用可行流，看是否 \(>0\)，就是是否有能让收益增加的可行流（调整方案）。这显然是极有可能有负环的，我还要处理负环然后跑上下界费用流这么麻烦吗？别忘了我们只需要判断是否存在费用为正的可行流，那么显然等价于图中是否有正环，因为流量一定为 \(0\)。于是 SPFA 跑一下即可。