最大子矩阵和 = 前缀和 + 最大子段和

简单来说这道题就是求一个 $N \times M$ 的矩阵的最大子矩阵和。
（因为求的是黑色石板与白色石板的数量差，所以代表白色石板的“0”可以看作 -1，这样就将问题转化为了求最大子矩阵和）

思路：

首先，这个子矩阵可以是任意大小的，而且起始点也可以在任何地方，所以，要把最大子矩阵找出来，我们要考虑多种情况。

假定原始矩阵的行数为 $M$ ，那么对于子矩阵，它的行数可以是 1 到 $M$ 的任何一个数，而且，对于一个 $K$ 行（ $K \leq M$ ）的子矩阵，它的第一行可以是原始矩阵的第 1 行到 $M - K + 1$ 的任意一行。

例子：

1 -1 1 1 -1
-1 1 1 1 1
1 1 1 1 -1
1 -1 1 -1 1

对于样例二的矩阵，如果子矩阵的行数是 2，那么它可以是下面几个矩阵的子矩阵：

1 -1 1 1 -1
-1 1 1 1 1

或者

-1 1 1 1 1
1 1 1 1 -1

或者

1 1 1 1 -1
1 -1 1 -1 1

在每一种情况里（我们这里有三种），我们还要找出一个最大的子矩阵，当然，这只是一种情况的最大子矩阵（局部最大），不一定是全局最大。

但是，如果我们知道每一种情况的最大，要找出全局最大，那就小菜一碟儿了。

在讲在一个特殊情况下求最大子矩阵之前，先讲一个事实：

假设这个最大子矩阵的维数是一维，要找出最大子矩阵, 原理与求“最大子段和问题”是一样的。最大子段和问题的递推公式是：

b [j] = max (b [j - 1] + a [j], a [j])

$b [j]$ 指的是从1开始到 $j$ 的最大子段和。

例子：

假设原始矩阵为：[1 ，-1 ，1 ，1 ，-1]，那么 $b []$ = {1,0,1,2,1} , 那么最大子段和为 2，如果找最大子矩阵的话，那么这个子矩阵是 [1，-1，1，1] (或者[1，1]) 。

求最大子段和的代码如下：

int b[1000]={};
for(int k=1;k<=n;k++){
	b[k]=max(a[k],b[k-1]+a[k]);
	ans=max(ans,b[k]);
}
printf("%d",ans);

但是，原始矩阵可以是二维的。假设原始矩阵是一个 $3 \cdot n$ 的矩阵，那么它的子矩阵可以是 $1 \cdot k$ , $2 \cdot k$ , $3 \cdot k$ （ $1 \leq k \leq n$ ）。

如果是 $1 \cdot k$ ，这里有3种情况：子矩阵在第一行，子矩阵在第二行，子矩阵在第三行。

如果是 $2 \cdot k$ ，这里有两种情况，子矩阵在第一、二行，子矩阵在第二、三行。

如果是 $3 \cdot k$ ，只有一种情况。

为了能够找出最大的子矩阵，我们需要考虑所有的情况。

假设这个子矩阵是 $2 \cdot k$ , 也就是说它只有两行，要找出最大子矩阵，我们要从左到右不断的遍历才能找出在这种情况下的最大子矩阵。如果我们把这两行上下相加，情况就和求“最大子段和问题” 又是一样的了。

为了找出在原始矩阵里的最大子矩阵，我们要遍历所有的子矩阵的可能情况，也就是说，我们要考虑这个子矩阵有可能只有 1 行，2 行……到 $n$ 行。而在每一种情况下，我们都要把它所对应的矩阵部分上下相加才求最大子矩阵（局部）。

所以我边输入，边预处理出了每一列的前缀和：

cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++){
	cin>>(s+1);
	for(int j=1;j<=m;j++){
		dp[j][i]+=dp[j][i-1];
		if(s[j]-'0') dp[j][i]++;
		else dp[j][i]--;
	}
}
//dp[j][i] 表示 第j列 1到第i行的前缀和

之后枚举矩阵的起点行和终点行，通过最大子段和的方法求最大子矩阵：

for(int i=1;i<=n;i++){        //枚举起点行
	for(int j=i;j<=n;j++){      //枚举终点行
		int b[1000]={};
		for(int k=1;k<=m;k++){   //前缀和+最大子段和
			b[k]=max(dp[k][j]-dp[k][i-1],b[k-1]+dp[k][j]-dp[k][i-1]);
			ans=max(ans,b[k]);
		}
	}
}

完整代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,ans;
char s[1000];
int dp[1000][1000];
int main(){
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>(s+1);
		for(int j=1;j<=m;j++){
			dp[j][i]+=dp[j][i-1];
			if(s[j]-'0') dp[j][i]++;
			else dp[j][i]--;
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=i;j<=n;j++){
			int b[1000]={};
			for(int k=1;k<=m;k++){
				b[k]=max(dp[k][j]-dp[k][i-1],b[k-1]+dp[k][j]-dp[k][i-1]);
				ans=max(ans,b[k]);
			}
		}
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}