关于素数(质数)
定义：
在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数。
性质：
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素数的个数无限多
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所有大于2的素数都可以唯一地表示成两个平方数之差
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当 \(n\) 为大于2的整数时，\(2^n+1\) 和 \(2^n-1\) 两个数中，如果其中一个数是素数，那么另一个数一定是合数
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如果 \(p\) 是素数，\(a\) 与 \(p\) 互质，那么 \(a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}\)(费马小定理)
素数测试法：
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试除法，尝试从2到 \(\sqrt{n}\) 的整数是否整除 \(n\)
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费马小定理的逆命题（伪素数）
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Miller-Rabin测试
如果 \(p\) 是素数，\(x\) 是小于 \(p\) 的正整数，且 \(x^2 \bmod p = 1\)，那么要么 \(x=1\)，要么 \(x=p-1\)。这是显然的，因为 \(x^2 \bmod p = 1\)相当于 \(p\) 能整除 \(x^2 - 1\)，也即 \(p\) 能整除 \((x+1)(x-1)\)。由于 \(p\) 是素数，那么只可能是 \(x-1\) 能被 \(p\) 整除(此时 \(x=1\))或 \(x+1\) 能被 \(p\) 整除(此时 \(x=p-1\))。
强伪素数
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埃氏筛法
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1不是素数，首先把它筛掉
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剩下的数中选择最小的素数，去掉它的倍数
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重复步骤2，直到看完n以内的所有数
#define N 1000100 #define LL long long int prim[N];//被筛出的素数 bool isprim[N];//数字 i 是否是素数 int pn = 0;//当前素数的个数 void table(){ memset(isprim,true,sizeof(isprim)); isprim[0]=isprim[1]=false; for(int i = 2;i < N;i++) if(isprim[i]){ prim[++pn] = i; for(LL j = i*i;j < N;j += i) num[j] = 0; } }注意在标记i的倍数只需从 \(i * i\) 开始，因为小于它的 \(i\) 的倍数势必已经被更小的数作为倍数筛掉。同时小心 \(i * i\) 爆int。但是这个写法会让一些数被重复筛。
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线性筛法（欧拉筛法）
线性筛法顾名思义就是用 \(O(n)\) 的时间复杂度筛出所有素数，这种算法比埃氏筛更优，假如我们要判断 30 是不是素数，用埃氏筛会被2、3、5作为倍数筛三遍，这样的访问太多余了。
欧拉筛法做到了每个数只被筛一遍。
#define N 1000100 #define LL long long int prim[N]; bool isprim[N] int pn = 0; void table(){ memset(isprim,true,sizeof(isprim)); isprim[0]=isprim[1]=false; for(int i = 2;i < N;i++){ if(isprim[i]) prim[++pn] = i; for(int j = 0;j < pn && 1LL*i*prim[j] < N;j++){ isprim[i*prim[j]] = 0; if(i % prim[j] == 0) break; } } }全篇的精华在于：
if(i % prim[j] == 0) break;这个
break保证了合数只被最小的素约数访问到。
比如在筛 125 时会被 \(5 \times 25\) 筛掉，此时\[i=25,prim[j]=5 \]假如我们不退出循环继续筛就会变成
\[i=25,prim[j]=7 \]这样就会把 175 筛掉，但是 175 的最小素约数是 5，即
\[175=5 \times 5 \times 7 \]所以存在 \(5 \times 35\) 可以筛掉 175。
我们继续推广到一般情况
当
i % prim[j] == 0时 \(i\) 可以被表示成 \(prim[j] \times k\)则下一个数为 \(prim[j+1] \times \left(prim[j] \times k \right)\)
因为 \(prim[j] < prim[j+1]\)
所以一定存在 \(prim[j] \times \left(prim[j+1] \times k \right)\) 使得当前数被最小的素约数筛。
In the End
关于素数的基本内容已经介绍完毕，素数作为数论中很重要的一部分，经常会出现在试题当中，掌握上述知识，在OI之路上更上一层楼。
