欧拉函数与欧拉定理

欧拉函数和欧拉定理

欧拉函数的定义

欧拉函数（Euler's totient function），即 $\phi (n)$，表示的是小于等于 $n$ 和 $n$ 互质的数的个数。

比如说 $\phi (1)=1$。

当 n 是质数的时候，显然有 $\phi (n)=n-1$。

欧拉函数的一些性质&结论

• 欧拉函数是积性函数

不知道积性函数？点这里。

• $n={\displaystyle \sum _{d|n}\phi (d)}$。

  证明：如果 $gcd(k,n)=d$，

  那么 $gcd\left({\displaystyle \frac{k}{d},\frac{n}{d}}\right)=1,(k<n)$

  如果我们设 $f(x)$ 表示 $gcd(k,n)=x$ 的数的个数，那么 $n={\displaystyle \sum _{i=1}^{n}f(i)}$。

  根据上面的证明，我们发现 $f(x)=\phi \left({\displaystyle \frac{n}{x}}\right)$，

  从而 $n={\displaystyle \sum _{i=1}^n\phi \left({\displaystyle \frac{n}{x}}\right)}$。

  注意到约数 $d$ 和 ${\displaystyle \frac{n}{d}}$ 具有对称性，所以上式化为 $n={\displaystyle \sum _{d|n}\phi (d)}$。

• 若 $n=p^k$，其中 $p$ 是质数，那么 $\phi (n)=p^k-p^{k-1}=p^{k-1}\times (p-1)$。

  证明：显然对于从 1 到 $p^k$ 的所有数中，除了 $p^{k-1}$ 个 $p$ 的倍数以外其它数都与 $p^k$ 互素，故 $\phi (n)=p^k-p^{k-1}=p^{k-1}\times (p-1)$，证毕。

• 由唯一分解定理，设 $n={\displaystyle \prod _{i=1}^s{p}_i^{k_i}}$，其中 $p_i$ 是质数，有 $\phi (n)=n\times {\displaystyle \prod _{i=1}^s(1-\frac{1}{p})}$。

  证明：

  • 引理：设 $p$ 为任意质数，那么 $\phi (n)=p^{k-1}\times (p-1)$。
  $$\phi (n)={\displaystyle \prod _{i=1}^s\phi (p_i^{k_i})}$$
  $$=\prod _{i=1}^s(p_i-1)p_i^{k_i-1}$$
  $$=\prod _{i=1}^s{p}_i^{k_i}\times (1-\frac{1}{p_i})$$
  $$=n{\displaystyle \prod _{i=1}^s(1-\frac{1}{p_i})}$$

如何求欧拉函数值

如果只要求一个数的欧拉函数值，那么直接根据定义质因数分解的同时求就好了。

int phi(int n) {
  int ans = n;
  for (int i = 2; i * i <= n; i++)
    if (n % i == 0) {
      ans = ans / i * (i - 1);
      while (n % i == 0) n /= i;
    }
  if (n > 1) ans = ans / n * (n - 1);
  return ans;
}

如果是多个数的欧拉函数值，可以利用线性筛法来求得。

void pre() {
  memset(isprime, 1, sizeof(isprime));
  int cnt = 0;
  isprime[1] = 0;
  phi[1] = 1;
  for (int i = 2; i <= 5000000; i++) {
    if (isprime[i]) {
      prime[++cnt] = i;
      phi[i] = i - 1;
    }
    for (int j = 1; j <= cnt && i * prime[j] <= 5000000; j++) {
      isprime[i * prime[j]] = 0;
      if (i % prime[j])
        phi[i * prime[j]] = phi[i] * phi[prime[j]];
      else {
        phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j];
        break;
      }
    }
  }
}

欧拉定理

与欧拉函数紧密相关的一个定理就是欧拉定理。其描述如下：

若 $gcd(a,m)=1$，则 $a^{\phi (m)}\equiv 1(\mathrm{mod}m)$。

证明：

证明转载自M_lear

记小于 n 且与 n 互质的正整数集合为

$$R=\{x_1,x_2,\cdots ,x_{\phi (n)}\}$$

令

$$S=\{a{x}_1\mathrm{\%}n,a{x}_2\mathrm{\%}n,\cdots ,a{x}_{\phi (n)}\mathrm{\%}n\}$$

$\mathrm{\forall }i\in [1,\phi (n)]$

$\because gcd(a,n)=1,gcd(x_i,n)=1$

$\therefore gcd(a{x}_i,n)=1$

由最大公约数的性质可得 $gcd(a{x}_i\mathrm{\%}n,n)=1$

所以 $S$ 中的所有元素都与 $n$ 互质，且都小于 $n$。又 $S$ 中无重复元素

假设 $i\ne j,a{x}_i\mathrm{\%}n=a{x}_j\mathrm{\%}n$

即 $a{x}_i\equiv a{x}_j$，又 $gcd(a,n)=1$

$\therefore x_i\equiv x_j(\mathrm{mod}n),i=j$ 矛盾

$\therefore S=R$

$\therefore {\displaystyle \prod _{i=1}^{\phi (n)}a{x}_i\equiv \prod _{i=1}^{\phi (n)}{x}_i(\mathrm{mod}n)}$

$\therefore a^{\phi (n)}{\displaystyle \prod _{i=1}^{\phi (n)}{x}_i\equiv \prod _{i=1}^{\phi (n)}{x}_i(\mathrm{mod}n)}$

$\because gcd\left({\displaystyle \prod _{i=1}^{\phi (n)}{x}_i,n}\right)=1$

$\therefore a^{\phi (n)}\equiv 1(\mathrm{mod}n)$