欧拉函数与欧拉定理
欧拉函数和欧拉定理
欧拉函数的定义
欧拉函数（Euler's totient function），即 \(\varphi(n)\)，表示的是小于等于 \(n\) 和 \(n\) 互质的数的个数。
比如说 \(\varphi(1)=1\)。
当 n 是质数的时候，显然有 \(\varphi(n)=n-1\)。
欧拉函数的一些性质&结论
- 欧拉函数是积性函数
不知道积性函数？点这里。
-
\(n=\displaystyle\sum_{d|n}\varphi(d)\)。
证明：如果 \(gcd(k,n)=d\)，
那么 \(gcd\left(\displaystyle\frac{k}{d},\frac{n}{d} \right)=1,(k<n)\)
如果我们设 \(f(x)\) 表示 \(gcd(k,n)=x\) 的数的个数，那么 \(n=\displaystyle\sum_{i=1}^n f(i)\)。
根据上面的证明，我们发现 \(f(x)=\varphi\left(\displaystyle\frac{n}{x}\right)\)，
从而 \(n=\displaystyle\sum_{i=1}^n \varphi\left(\displaystyle\frac{n}{x}\right)\)。
注意到约数 \(d\) 和 \(\displaystyle\frac{n}{d}\) 具有对称性，所以上式化为 \(n=\displaystyle\sum_{d|n}\varphi(d)\)。
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若 \(n = p^k\)，其中 \(p\) 是质数，那么 \(\varphi(n)=p^k-p^{k-1}=p^{k-1} \times (p-1)\)。
证明：显然对于从 1 到 \(p^k\) 的所有数中，除了 \(p^{k-1}\) 个 \(p\) 的倍数以外其它数都与 \(p^k\) 互素，故 \(\varphi(n)=p^k-p^{k-1}=p^{k-1} \times (p-1)\)，证毕。
-
由唯一分解定理，设 \(n=\displaystyle\prod_{i=1}^s p_i^{k_i}\)，其中 \(p_i\) 是质数，有 \(\varphi(n)=n \times \displaystyle\prod_{i=1}^s(1-\frac{1}{p})\)。
证明：
- 引理：设 \(p\) 为任意质数，那么 \(\varphi(n)=p^{k-1} \times (p-1)\)。
\[\varphi(n) = \displaystyle\prod_{i=1}^{s} \varphi(p_i^{k_i}) \]\[= \prod_{i=1}^s(p_i-1)p_i^{k_i-1} \]\[= \prod_{i=1}^sp_i^{k_i} \times (1-\frac{1}{p_i}) \]\[= n\displaystyle\prod_{i=1}^s(1-\frac{1}{p_i}) \]
如何求欧拉函数值
如果只要求一个数的欧拉函数值，那么直接根据定义质因数分解的同时求就好了。
int phi(int n) {
int ans = n;
for (int i = 2; i * i <= n; i++)
if (n % i == 0) {
ans = ans / i * (i - 1);
while (n % i == 0) n /= i;
}
if (n > 1) ans = ans / n * (n - 1);
return ans;
}
如果是多个数的欧拉函数值，可以利用线性筛法来求得。
void pre() {
memset(isprime, 1, sizeof(isprime));
int cnt = 0;
isprime[1] = 0;
phi[1] = 1;
for (int i = 2; i <= 5000000; i++) {
if (isprime[i]) {
prime[++cnt] = i;
phi[i] = i - 1;
}
for (int j = 1; j <= cnt && i * prime[j] <= 5000000; j++) {
isprime[i * prime[j]] = 0;
if (i % prime[j])
phi[i * prime[j]] = phi[i] * phi[prime[j]];
else {
phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j];
break;
}
}
}
}
欧拉定理
与欧拉函数紧密相关的一个定理就是欧拉定理。其描述如下：
若 \(gcd(a,m)=1\)，则 \(a^{\varphi(m)} \equiv 1 \pmod m\)。
证明：
证明转载自M_lear
记小于 n 且与 n 互质的正整数集合为
令
\(\forall i \in [1,\varphi(n)]\)
\(\because gcd(a,n)=1,gcd(x_i,n)=1\)
\(\therefore gcd(ax_i,n)=1\)
由最大公约数的性质可得 \(gcd(ax_i \% n,n)=1\)
所以 \(S\) 中的所有元素都与 \(n\) 互质，且都小于 \(n\)。又 \(S\) 中无重复元素
假设 \(i \not = j,ax_i \% n= ax_j \% n\)
即 \(ax_i \equiv ax_j\)，又 \(gcd(a,n) = 1\)
\(\therefore x_i \equiv x_j \pmod{n},i=j\) 矛盾
\(\therefore S=R\)
\(\therefore \displaystyle\prod_{i=1}^{\varphi(n)} ax_i \equiv \prod_{i=1}^{\varphi(n)} x_i \pmod{n}\)
\(\therefore a^{\varphi(n)}\displaystyle\prod_{i=1}^{\varphi(n)} x_i \equiv \prod_{i=1}^{\varphi(n)} x_i \pmod{n}\)
\(\because gcd\left(\displaystyle\prod_{i=1}^{\varphi(n)} x_i,n\right)=1\)
\(\therefore a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod{n}\)
